[{"_1":2,"_3":-5,"_4":-5},"loaderData",{"_5":6},"actionData","errors","routes/mathe.$topic.$slug",{"_7":8,"_9":10},"topic",{"_11":186,"_13":187,"_188":189,"_190":191,"_192":193,"_194":195,"_196":197,"_198":199,"_200":201},"exercise",{"_11":12,"_13":14,"_15":16,"_17":18},"slug","mathe-folgen-grenzwerte-training","title","Folgen und Grenzwerte · Training","totalPoints",12,"tasks",[19,20,21,22,23,24,25,26,27,28],{"_29":55,"_31":59,"_13":173,"_36":58,"_33":59,"_38":174,"_61":175},{"_29":55,"_31":159,"_13":160,"_36":58,"_33":59,"_38":161,"_61":162},{"_29":55,"_31":34,"_13":147,"_36":58,"_33":59,"_38":148,"_61":149},{"_29":55,"_31":133,"_13":134,"_36":58,"_33":59,"_38":135,"_61":136},{"_29":55,"_31":119,"_13":120,"_36":58,"_33":59,"_38":121,"_61":122},{"_29":55,"_31":107,"_13":108,"_36":58,"_33":59,"_38":109,"_61":110},{"_29":55,"_31":92,"_13":93,"_36":58,"_33":59,"_38":94,"_61":95},{"_29":55,"_31":79,"_13":80,"_36":58,"_33":59,"_38":81,"_61":82},{"_29":55,"_31":56,"_13":57,"_36":58,"_33":59,"_38":60,"_61":62},{"_29":30,"_31":32,"_33":34,"_13":35,"_36":37,"_38":39},"kind","self","nr",10,"points",3,"Rechenweg erklären","instruction","Schreibe deinen Lösungsweg auf. Nach der Auswertung vergibst du je einen Punkt für die drei Schritte der Musterlösung.","items",[40],{"_41":42,"_43":44,"_45":46,"_47":48,"_49":34,"_50":51},"id","folgen-grenzwerte-transfer","label","1","prompt","Zeige, dass aₙ = 1 − 1/n für n ≥ 1 streng wächst, beschränkt ist und gegen 1 konvergiert.","angaben","3 nachvollziehbare Schritte","maxPoints","solutions",[52,53,54],"1 P: aₙ₊₁ − aₙ = 1/[n(n+1)] > 0, also streng wachsend.","1 P: Für n ≥ 1 gilt 0 ≤ aₙ < 1, also beschränkt.","1 P: Weil 1/n → 0, gilt aₙ → 1.","auto",9,"Wurzelgrenzwert","Rechne auf Papier vor. Gib eine Zahl oder einen Bruch ein, z. B. 0,5 oder 1/2. Bei Rundungen mindestens 6 Nachkommastellen.",1,[66],"solutionSteps",[63,64,65],"Erweitere mit √(n²+n) + n.","Der Ausdruck wird zu 1/[√(1+1/n)+1].","Der Grenzwert ist 1/(1+1) = 1/2.",{"_43":44,"_67":68},"segments",[69,70],"Bestimme lim [√(n²+n) − n] für n → ∞. ",{"_41":71,"_72":73,"_74":75,"_76":77},"folgen-grenzwerte-8","accept",[78],"numeric",0.5,"width","lg","0.5",8,"Unbestimmter Ausdruck",[86],[83,84,85],"Die Form ist ∞/∞, also erst umformen.","Teile durch die größte Basis 3ⁿ: (2/3)ⁿ + 1.","(2/3)ⁿ ist eine Nullfolge, der Grenzwert ist 1.",{"_43":44,"_67":87},[88,89],"Bestimme lim (2ⁿ + 3ⁿ)/3ⁿ für n → ∞. ",{"_41":90,"_72":91,"_74":59,"_76":77},"folgen-grenzwerte-7",[44],7,"Einschnürungssatz",[99],[96,97,98],"Für alle n gilt −1 ≤ cos n ≤ 1.","Teilen durch n: −1/n ≤ (cos n)/n ≤ 1/n.","Beide Ränder sind Nullfolgen, also ist der Grenzwert 0.",{"_43":44,"_67":100},[101,102],"Bestimme lim (cos n)/n für n → ∞. ",{"_41":103,"_72":104,"_74":105,"_76":77},"folgen-grenzwerte-6",[106],0,"0",6,"Nullfolge",[113],[111,112],"|0,8| < 1, deshalb (0,8)ⁿ → 0.","Auch das Siebenfache geht gegen 0.",{"_43":44,"_67":114},[115,116],"Bestimme lim 7·(0,8)ⁿ für n → ∞. ",{"_41":117,"_72":118,"_74":105,"_76":77},"folgen-grenzwerte-5",[106],5,"Rationaler Grenzwert",[125],[123,124],"Teile Zähler und Nenner durch n².","(3 + 2/n)/(2 − 1/n²) → 3/2.",{"_43":44,"_67":126},[127,128],"Bestimme lim (3n² + 2n)/(2n² − 1) für n → ∞. ",{"_41":129,"_72":130,"_74":131,"_76":77},"folgen-grenzwerte-4",[132],1.5,"1.5",4,"Fibonacci rekursiv",[139],[137,138],"Rechne die Glieder der Reihe nach aus: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …","f₈ = 21 und f₇ = 13, also f₉ = 21 + 13 = 34.",{"_43":44,"_67":140},[141,142],"f₁ = f₂ = 1 und fₙ₊₂ = fₙ₊₁ + fₙ. Bestimme f₉. ",{"_41":143,"_72":144,"_74":145,"_76":77},"folgen-grenzwerte-3",[146],34,"34","Geometrische Folge",[152],[150,151],"a₄ = 80·(1/2)³.","80/8 = 10.",{"_43":44,"_67":153},[154,155],"a₁ = 80 und q = 1/2. Berechne a₄. ",{"_41":156,"_72":157,"_74":32,"_76":77},"folgen-grenzwerte-2",[158],"10",2,"Arithmetische Folge",[165],[163,164],"aₙ = a₁ + (n−1)d.","a₁₀ = 5 + 9·3 = 32.",{"_43":44,"_67":166},[167,168],"a₁ = 5, d = 3. Berechne a₁₀. ",{"_41":169,"_72":170,"_74":171,"_76":77},"folgen-grenzwerte-1",[172],32,"32","Explizite Folge",[178],[176,177],"Setze n = 7 ein.","a₇ = 3·7 − 2 = 19.",{"_43":44,"_67":179},[180,181],"aₙ = 3n − 2, n ≥ 1. Bestimme a₇. ",{"_41":182,"_72":183,"_74":184,"_76":77},"folgen-grenzwerte-0",[185],19,"19","folgen-grenzwerte","Folgen und Grenzwerte","summary","Folgen bilden, ihr Verhalten beschreiben und Grenzwerte berechnen.","prerequisites","Potenzen, Brüche, Wurzeln und das Umformen von Termen.","source","https://moodle.uni-mainz.de/mod/folder/view.php?id=2767274","resources",[1043],"goals",[1039,1040,1041,1042],"sections",[666,667,668,669,670,671,672,673,674,675,676,677,678,679,680],"exercises",[10,202],{"_11":203,"_13":204,"_205":206,"_15":207,"_17":208},"mathe-folgen-uebungsblatt-4","Übungsblatt 4 · Folgen und Grenzwerte","subtitle","Übungsblatt 4",62,[209,210,211,212,213,214,215,216,217,218,219],{"_29":30,"_31":59,"_33":107,"_13":634,"_36":635,"_223":636,"_38":637},{"_29":30,"_31":159,"_33":133,"_13":611,"_36":612,"_223":-7,"_38":613},{"_29":30,"_31":34,"_33":79,"_13":568,"_36":569,"_223":-7,"_38":570},{"_29":30,"_31":133,"_33":119,"_13":540,"_36":541,"_223":-7,"_38":542},{"_29":30,"_31":119,"_33":119,"_13":512,"_36":479,"_223":513,"_38":514},{"_29":30,"_31":107,"_33":107,"_13":478,"_36":479,"_223":-7,"_38":480},{"_29":55,"_31":92,"_33":119,"_13":434,"_36":435,"_223":436,"_38":437,"_61":438},{"_29":55,"_31":79,"_33":56,"_13":359,"_36":360,"_223":361,"_38":362,"_61":363},{"_29":55,"_31":56,"_33":119,"_13":317,"_36":318,"_223":-7,"_38":319,"_61":320},{"_29":55,"_31":32,"_33":34,"_13":286,"_36":287,"_223":288,"_38":289,"_61":290},{"_29":55,"_31":220,"_33":107,"_13":221,"_36":222,"_223":224,"_38":225,"_61":226},11,"Aufgabe 11 · Gemischte Grenzwerte","Bestimme den Grenzwert. Erst zusammenfassen, dann den Grenzwert bilden.","note","Teilaufgabe a) ist die klassische Falle: Beide Terme wachsen wie (3/2)n und heben sich auf.",[233,234,235,236,237,238],[227,228,229,230,231,232],"a) Achtung, keine ∞−∞-Situation: 3n²/(2n+3) = (3/2)n − 9/4 + Rest und 6n⁵/(4n⁴+7) = (3/2)n − Rest. Die Leitterme (3/2)n heben sich auf, übrig bleibt −9/4 = −2,25.","b) Zählergrad: 1 + 2 + 2 = 5, gleich dem Nennergrad. Leitkoeffizient Zähler 1·4·3 = 12, Nenner 1 ⇒ 12.","c) Mit dem konjugierten Ausdruck erweitern: (n²+3n − n²−6n)/[√(n²+3n)+√(n²+6n)] = −3n/[…] → −3/2.","d) (1 + 1/(2n))^(4n) = [(1 + 1/(2n))^(2n)]² → e².","e) (n+3)/(n+2) = 1 + 1/(n+2); Exponent 3n−5 ⇒ e³.","f) (n−2)/(n−1) = 1 − 1/(n−1); Exponent n ⇒ e⁻¹ = 1/e.",{"_43":278,"_67":279},{"_43":271,"_67":272},{"_43":263,"_67":264},{"_43":255,"_67":256},{"_43":247,"_67":248},{"_43":239,"_67":240},"f",[241,242],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\left(\\frac{n-2}{n-1}\\right)^{n}$ → ",{"_41":243,"_72":244,"_74":245,"_76":77},"f4-11f",[246],0.36787944117144233,"0.36787944117144233","e",[249,250],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\left(\\frac{n+3}{n+2}\\right)^{3n-5}$ → ",{"_41":251,"_72":252,"_74":253,"_76":77},"f4-11e",[254],20.085536923187664,"20.085536923187664","d",[257,258],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{2n}\\right)^{4n}$ → ",{"_41":259,"_72":260,"_74":261,"_76":77},"f4-11d",[262],7.3890560989306495,"7.3890560989306495","c",[265,266],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\left(\\sqrt{n^2+3n}-\\sqrt{n^2+6n}\\right)$ → ",{"_41":267,"_72":268,"_74":269,"_76":77},"f4-11c",[270],-1.5,"-1.5","b",[273,274],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{n(2n+3)^2(3n^2-4)}{n^5+n^3+7n}$ → ",{"_41":275,"_72":276,"_74":16,"_76":77},"f4-11b",[277],"12","a",[280,281],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\left(\\frac{3n^2}{2n+3}-\\frac{6n^5}{4n^4+7}\\right)$ → ",{"_41":282,"_72":283,"_74":284,"_76":77},"f4-11a",[285],-2.25,"-2.25","Aufgabe 10 · Die Zahl e","Nutze lim (1 + 1/n)ⁿ = e. Runde auf mindestens 6 Nachkommastellen.","Teilaufgabe c) divergiert gegen +∞ und ist deshalb nicht einzutragen.",[295,296,297],[291,292,293,294],"a) (1 + 1/(2n))ⁿ = [(1 + 1/(2n))^(2n)]^(1/2) → e^(1/2) = √e ≈ 1,648721.","b) (1 + 1/n)^(2n) = [(1 + 1/n)ⁿ]² → e² ≈ 7,389056.","c) (1 + 1/n)^(n²) = [(1 + 1/n)ⁿ]ⁿ → eⁿ → +∞, also kein endlicher Grenzwert.","d) Der Zusatz im Exponenten ändert nichts: (1 + 1/(n+1))^(n+1) → e und (1+1/(n+1))⁹ → 1, also e ≈ 2,718282.",{"_43":278,"_67":310},{"_43":271,"_67":305},{"_43":255,"_67":298},[299,300],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{n+1}\\right)^{n+10}$ → ",{"_41":301,"_72":302,"_74":303,"_76":77},"f4-10d",[304],2.718281828459045,"2.718281828459045",[306,307],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{n}\\right)^{2n}$ → ",{"_41":308,"_72":309,"_74":261,"_76":77},"f4-10b",[262],[311,312],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{2n}\\right)^{n}$ → ",{"_41":313,"_72":314,"_74":315,"_76":77},"f4-10a",[316],1.6487212707001282,"1.6487212707001282","Aufgabe 9 · Folgen mit Potenzen","Bestimme den Grenzwert. Teile jeweils durch die größte auftretende Basis.",[326,327,328,329,330],[321,322,323,324,325],"a) (2ⁿ−1)/2ⁿ = 1 − (1/2)ⁿ → 1.","b) (2ⁿ−1)/2ⁿ⁻¹ = 2 − 2·(1/2)ⁿ → 2.","c) 2ⁿ/(1+4ⁿ): durch 4ⁿ teilen ⇒ (1/2)ⁿ/((1/4)ⁿ + 1) → 0.","d) durch 3ⁿ teilen: ((2/3)ⁿ − 1)/((2/3)ⁿ + 1) → (0−1)/(0+1) = −1.","e) (2ⁿ + 3·3ⁿ)/(2·3ⁿ) = (2/3)ⁿ/2 + 3/2 → 3/2.",{"_43":278,"_67":354},{"_43":271,"_67":348},{"_43":263,"_67":343},{"_43":255,"_67":336},{"_43":247,"_67":331},[332,333],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{2^n+3^{n+1}}{2\\cdot 3^n}$ → ",{"_41":334,"_72":335,"_74":131,"_76":77},"f4-9e",[132],[337,338],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$ → ",{"_41":339,"_72":340,"_74":341,"_76":77},"f4-9d",[342],-1,"-1",[344,345],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{2^n}{1+4^n}$ → ",{"_41":346,"_72":347,"_74":105,"_76":77},"f4-9c",[106],[349,350],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{2^n-1}{2^{n-1}}$ → ",{"_41":351,"_72":352,"_74":159,"_76":77},"f4-9b",[353],"2",[355,356],"$\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{2^n-1}{2^n}$ → ",{"_41":357,"_72":358,"_74":59,"_76":77},"f4-9a",[44],"Aufgabe 8 · Grenzwertsätze anwenden","Berechne den Grenzwert durch Umformen. Teile durch die höchste Potenz im Nenner.","Teilaufgabe j) hat das Ergebnis (2/3)^k und ist deshalb nicht als Zahl eingetragen.",[372,373,374,375,376,377,378,379,380],[364,365,366,367,368,369,370,371],"a–c) Zähler- und Nennergrad gleich ⇒ Quotient der Leitkoeffizienten: 2, 7, 1.","d) n² dominiert √n und √(2n) ⇒ Grenzwert 1.","e) (n⁵−n⁴)/(6n⁵−1) = (1 − 1/n)/(6 − 1/n⁵) → 1/6.","f) durch √n teilen: (1 + 1/√n)/(√(1+1/n) + 2/√n) → 1.","g) Klammern zusammenfassen: [(5−n)/(5+n)]⁴ → (−1)⁴ = 1.","h) [(2+n)/(1+n)]¹⁰ → 1¹⁰ = 1.","i) [(1+2n)/(1+n)]¹⁰ → 2¹⁰ = 1024.","j) (1+2n)ᵏ/(1+3n)ᵏ = [(1+2n)/(1+3n)]ᵏ → (2/3)ᵏ — abhängig von k, daher hier nicht als Zahl einzutragen.",{"_43":278,"_67":429},{"_43":271,"_67":423},{"_43":263,"_67":418},{"_43":255,"_67":413},{"_43":247,"_67":406},{"_43":239,"_67":401},{"_43":395,"_67":396},{"_43":389,"_67":390},{"_43":381,"_67":382},"i",[383,384],"$\\frac{(1+2n)^{10}}{(1+n)^{10}}$ → ",{"_41":385,"_72":386,"_74":387,"_76":77},"f4-8i",[388],1024,"1024","h",[391,392],"$\\frac{(2+n)^{10}}{(1+n)^{10}}$ → ",{"_41":393,"_72":394,"_74":59,"_76":77},"f4-8h",[44],"g",[397,398],"$\\frac{(5-n)^4}{(5+n)^4}$ → ",{"_41":399,"_72":400,"_74":59,"_76":77},"f4-8g",[44],[402,403],"$\\frac{\\sqrt{n}+1}{\\sqrt{n+1}+2}$ → ",{"_41":404,"_72":405,"_74":59,"_76":77},"f4-8f",[44],[407,408],"$\\frac{n^5-n^4}{6n^5-1}$ → ",{"_41":409,"_72":410,"_74":411,"_76":77},"f4-8e",[412],0.16666666666666666,"0.16666666666666666",[414,415],"$\\frac{\\sqrt{n}+n+n^2}{\\sqrt{2n}+n^2}$ → ",{"_41":416,"_72":417,"_74":59,"_76":77},"f4-8d",[44],[419,420],"$\\frac{n^2+2n+1}{1+n+n^2}$ → ",{"_41":421,"_72":422,"_74":59,"_76":77},"f4-8c",[44],[424,425],"$\\frac{7n^3+1}{n^3-10}$ → ",{"_41":426,"_72":427,"_74":92,"_76":77},"f4-8b",[428],"7",[430,431],"$\\frac{1+2n}{1+n}$ → ",{"_41":432,"_72":433,"_74":159,"_76":77},"f4-8a",[353],"Aufgabe 7 · Konstante Folge plus Nullfolge","Zerlege gliedweise und gib den Grenzwert an. Trage nur den Grenzwert ein.","Der Teil ohne n ist die konstante Folge, der Rest die Nullfolge.",[445,446,447,448,449],[439,440,441,442,443,444],"Gliedweise teilen: (A+B)/C = A/C + B/C.","a) 8/(4n) + n/(4n) = 2/n + 1/4 → 0 + 1/4 = 1/4.","b) analog mit √n: 2/√n + 1/4 → 1/4.","c) 8/(4·2ⁿ) + 2ⁿ/(4·2ⁿ) = 2/2ⁿ + 1/4 → 1/4.","d) 6/(¼n⁴) + n⁴/(¼n⁴) = 24/n⁴ + 4 → 4.","e) 4/n³ + n³/n³ = 4/n³ + 1 → 1.",{"_43":278,"_67":473},{"_43":271,"_67":468},{"_43":263,"_67":461},{"_43":255,"_67":455},{"_43":247,"_67":450},[451,452],"$a_n = \\frac{4+n^3}{n^3}$ → ",{"_41":453,"_72":454,"_74":59,"_76":77},"f4-7e",[44],[456,457],"$a_n = \\frac{6+n^4}{\\tfrac14 n^4}$ → ",{"_41":458,"_72":459,"_74":133,"_76":77},"f4-7d",[460],"4",[462,463],"$a_n = \\frac{8+2^n}{4\\cdot 2^n}$ → ",{"_41":464,"_72":465,"_74":466,"_76":77},"f4-7c",[467],0.25,"0.25",[469,470],"$a_n = \\frac{8+\\sqrt{n}}{4\\sqrt{n}}$ → ",{"_41":471,"_72":472,"_74":466,"_76":77},"f4-7b",[467],[474,475],"$a_n = \\frac{8+n}{4n}$ → ",{"_41":476,"_72":477,"_74":466,"_76":77},"f4-7a",[467],"Aufgabe 6 · Monotonie und Beschränktheit","Untersuche die Folge auf Monotonie und Beschränktheit.",[481,482,483,484,485,486],{"_41":508,"_43":278,"_45":509,"_47":489,"_49":59,"_50":510},{"_41":504,"_43":271,"_45":505,"_47":489,"_49":59,"_50":506},{"_41":500,"_43":263,"_45":501,"_47":489,"_49":59,"_50":502},{"_41":496,"_43":255,"_45":497,"_47":489,"_49":59,"_50":498},{"_41":492,"_43":247,"_45":493,"_47":489,"_49":59,"_50":494},{"_41":487,"_43":239,"_45":488,"_47":489,"_49":59,"_50":490},"f4-6f","aₙ = (3n − 2n²)/(n²+1)","Eigene Lösung",[491],"Für große n dominiert −2n²/n² = −2. a₁ = 1/2, danach fallend ⇒ streng fallend ab n = 1. Beschränkt: −2 < aₙ ≤ 1/2, Grenzwert −2.","f4-6e","aₙ = (n²−1)/n",[495],"Umformen: aₙ = n − 1/n ⇒ streng wachsend. Nach unten durch a₁ = 0 beschränkt, nach oben unbeschränkt ⇒ divergent.","f4-6d","aₙ = (−1)ⁿ/(n+3)",[499],"Nicht monoton (alternierend). Beschränkt: −1/4 ≤ aₙ ≤ 1/5. Nullfolge, da 1/(n+3) → 0.","f4-6c","aₙ = n/(n²+1)",[503],"a₁ = 1/2, a₂ = 2/5; ab n = 1 streng fallend. 0 < aₙ ≤ 1/2, Nullfolge.","f4-6b","aₙ = (n+1)/(5n)",[507],"Umformen: aₙ = 1/5 + 1/(5n) ⇒ streng fallend. 1/5 < aₙ ≤ 2/5, Grenzwert 1/5.","f4-6a","aₙ = 1/n²",[511],"aₙ₊₁/aₙ = n²/(n+1)² < 1 ⇒ streng fallend. 0 < aₙ ≤ 1, Nullfolge.","Aufgabe 5 · Monotonie und Beschränktheit","Teilaufgabe e) ist eine Falle: sin(π·n) ist für ganzzahlige n immer exakt 0.",[515,516,517,518,519],{"_41":536,"_43":278,"_45":537,"_47":489,"_49":59,"_50":538},{"_41":532,"_43":271,"_45":533,"_47":489,"_49":59,"_50":534},{"_41":528,"_43":263,"_45":529,"_47":489,"_49":59,"_50":530},{"_41":524,"_43":255,"_45":525,"_47":489,"_49":59,"_50":526},{"_41":520,"_43":247,"_45":521,"_47":489,"_49":59,"_50":522},"f4-5e","aₙ = sin(π·n)",[523],"Für ganzzahlige n ist sin(πn) = 0 ⇒ konstante Nullfolge. Monoton (nicht streng), beschränkt: 0 ≤ aₙ ≤ 0, Grenzwert 0.","f4-5d","aₙ = (1+5n²)/[n(n+1)]",[527],"Für große n verhält sich aₙ wie 5n²/n² = 5. a₁ = 3, a₂ = 21/6 = 3,5, die Folge wächst streng und bleibt unter 5. Beschränkt: 3 ≤ aₙ < 5, Grenzwert 5.","f4-5c","aₙ = 1/√n",[531],"√n wächst ⇒ aₙ streng fallend. Beschränkt: 0 < aₙ ≤ 1. Nullfolge.","f4-5b","aₙ = n²/100 + n",[535],"Beide Summanden wachsen ⇒ streng wachsend. Nach unten durch a₁ = 1,01 beschränkt, nach oben unbeschränkt ⇒ divergent gegen +∞.","f4-5a","aₙ = 8n/(n²+1)",[539],"a₁ = 4, a₂ = 16/5 = 3,2, danach fallend. Ab n = 1 streng fallend, denn aₙ₊₁ − aₙ < 0 für n ≥ 1. Beschränkt: 0 < aₙ ≤ 4. Nullfolge.","Aufgabe 4 · Monotonie und Beschränktheit","Untersuche die Folge auf Monotonie und Beschränktheit. Gib immer konkrete Schranken an.",[543,544,545,546,547],{"_41":564,"_43":278,"_45":565,"_47":489,"_49":59,"_50":566},{"_41":560,"_43":271,"_45":561,"_47":489,"_49":59,"_50":562},{"_41":556,"_43":263,"_45":557,"_47":489,"_49":59,"_50":558},{"_41":552,"_43":255,"_45":553,"_47":489,"_49":59,"_50":554},{"_41":548,"_43":247,"_45":549,"_47":489,"_49":59,"_50":550},"f4-4e","aₙ = 2",[551],"Konstant, also zugleich monoton wachsend und fallend (nicht streng). Beschränkt: 2 ≤ aₙ ≤ 2. Grenzwert 2.","f4-4d","aₙ = 1 + (−1)ⁿ/n",[555],"Nicht monoton, da der Störterm das Vorzeichen wechselt. Beschränkt: 1/2 ≤ aₙ ≤ 3/2. Grenzwert 1, da (−1)ⁿ/n → 0.","f4-4c","aₙ = (−1)ⁿ",[559],"Nicht monoton (Vorzeichenwechsel). Beschränkt: −1 ≤ aₙ ≤ 1. Divergent.","f4-4b","aₙ = (3/4)ⁿ",[563],"aₙ₊₁/aₙ = 3/4 < 1 ⇒ streng fallend. 0 < aₙ ≤ 3/4, beschränkt; Nullfolge.","f4-4a","aₙ = 1 + 1/n",[567],"aₙ₊₁ − aₙ = −1/[n(n+1)] < 0 ⇒ streng fallend. Es gilt 1 < aₙ ≤ 2, also beschränkt; Grenzwert 1.","Aufgabe 3 · Bildungsgesetz finden","Gib die explizite Darstellung der Folge an (n ≥ 1).",[571,572,573,574,575,576,577,578],{"_41":607,"_43":278,"_45":608,"_47":489,"_49":59,"_50":609},{"_41":603,"_43":271,"_45":604,"_47":489,"_49":59,"_50":605},{"_41":599,"_43":263,"_45":600,"_47":489,"_49":59,"_50":601},{"_41":595,"_43":255,"_45":596,"_47":489,"_49":59,"_50":597},{"_41":591,"_43":247,"_45":592,"_47":489,"_49":59,"_50":593},{"_41":587,"_43":239,"_45":588,"_47":489,"_49":59,"_50":589},{"_41":583,"_43":395,"_45":584,"_47":489,"_49":59,"_50":585},{"_41":579,"_43":389,"_45":580,"_47":489,"_49":59,"_50":581},"f4-3h","(1, 4, 27, 256, 3125, 46656, …)",[582],"Basis gleich Exponent ⇒ aₙ = nⁿ.","f4-3g","(1/4, 1/2, 1, 2, 4, …)",[586],"Faktor 2, Start 1/4 ⇒ aₙ = 2ⁿ⁻³ = 2ⁿ/8.","f4-3f","(1, 3, 7, 15, 31, 63, …)",[590],"Jeweils +1 ergibt 2, 4, 8, 16 ⇒ aₙ = 2ⁿ − 1.","f4-3e","(2, −2, 2, −2, 2, …)",[594],"aₙ = 2·(−1)ⁿ⁺¹ (erstes Glied positiv).","f4-3d","(2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, …)",[598],"Zähler ist stets Nenner + 1 ⇒ aₙ = (n+1)/n = 1 + 1/n.","f4-3c","(1, 4, 9, 16, 25, …)",[602],"aₙ = n² — die Quadratzahlen.","f4-3b","(−4, −1, 2, 5, 8, 11, …)",[606],"Differenz 3, Start −4 ⇒ aₙ = −4 + 3(n−1) = 3n − 7.","f4-3a","(−1, −1, −1, −1, −1, …)",[610],"aₙ = −1 — konstante Folge.","Aufgabe 2 · Rekursiv gegebene Folgen","Berechne die ersten zehn Glieder und gib – wenn möglich – eine explizite Darstellung an.",[614,615,616,617],{"_41":630,"_43":278,"_45":631,"_47":489,"_49":59,"_50":632},{"_41":626,"_43":271,"_45":627,"_47":489,"_49":59,"_50":628},{"_41":622,"_43":263,"_45":623,"_47":489,"_49":59,"_50":624},{"_41":618,"_43":255,"_45":619,"_47":489,"_49":59,"_50":620},"f4-2d","a₁ = 0; a₂ = 1; aₙ₊₂ = aₙ + aₙ₊₁",[621],"0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 — die Fibonacci-Folge. Eine einfache explizite Form gibt es nicht (nur die Formel von Binet).","f4-2c","a₁ = 1/2; aₙ₊₁ = 1/aₙ",[625],"1/2, 2, 1/2, 2, … Die Folge springt: aₙ = 1/2 für ungerades n, aₙ = 2 für gerades n. Geschlossen: aₙ = 2^((−1)ⁿ).","f4-2b","a₁ = 1; aₙ₊₁ = 2·aₙ",[629],"1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Geometrisch mit q = 2 ⇒ aₙ = 2ⁿ⁻¹.","f4-2a","a₁ = 1; aₙ₊₁ = 2 + aₙ",[633],"1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Arithmetisch mit d = 2 ⇒ aₙ = 2n − 1.","Aufgabe 1 · Die ersten zehn Glieder","Berechne die ersten zehn Glieder der Folge (aₙ) mit n ≥ 1. Vergleiche anschließend mit der Musterlösung.","Je Teilaufgabe 1 Punkt für die vollständig richtige Liste.",[638,639,640,641,642,643],{"_41":662,"_43":278,"_45":663,"_47":489,"_49":59,"_50":664},{"_41":658,"_43":271,"_45":659,"_47":489,"_49":59,"_50":660},{"_41":655,"_43":263,"_45":557,"_47":489,"_49":59,"_50":656},{"_41":651,"_43":255,"_45":652,"_47":489,"_49":59,"_50":653},{"_41":648,"_43":247,"_45":549,"_47":489,"_49":59,"_50":649},{"_41":644,"_43":239,"_45":645,"_47":489,"_49":59,"_50":646},"f4-1f","aₙ = sin(π·n/2)",[647],"1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0 — periodisch mit Periode 4, kein Grenzwert.","f4-1e",[650],"2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 — konstante Folge, Grenzwert 2.","f4-1d","aₙ = (1/2)ⁿ",[654],"1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512, 1/1024 — geometrisch mit q = 1/2, Nullfolge.","f4-1c",[657],"−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1 — alternierend, nicht konvergent.","f4-1b","aₙ = 1/n",[661],"1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10 — Nullfolge, streng fallend.","f4-1a","aₙ = 2n/5",[665],"2/5, 4/5, 6/5, 8/5, 2, 12/5, 14/5, 16/5, 18/5, 4 — arithmetisch mit d = 2/5.",{"_681":1030,"_724":1031,"_726":1032,"_687":1033},{"_681":1017,"_724":1018,"_733":1019,"_726":1020},{"_681":974,"_683":975,"_724":976,"_685":977,"_726":978,"_687":979},{"_681":933,"_683":934,"_685":935},{"_681":892,"_683":893,"_685":894,"_733":895,"_726":896,"_687":897},{"_681":876,"_724":877,"_733":878,"_726":879,"_687":880},{"_681":832,"_683":833,"_724":834,"_685":835,"_733":836,"_726":837,"_687":838},{"_681":797,"_683":798,"_685":799,"_724":800,"_733":801,"_687":802},{"_681":786,"_683":787,"_724":788,"_726":789,"_687":790},{"_681":775,"_683":776,"_733":777,"_726":778},{"_681":761,"_724":762,"_733":763,"_726":764},{"_681":745,"_733":746,"_726":747,"_724":748,"_687":749},{"_681":731,"_683":732,"_733":734,"_726":735},{"_681":723,"_724":725,"_726":727,"_687":728},{"_681":682,"_683":684,"_685":686,"_687":688},"heading","15. Checkliste: Welches Verfahren wann?","intro","Setze n → ∞ zuerst im Kopf ein und schau, welche Form entsteht. Die Form bestimmt das Verfahren.","table",{"_689":690,"_691":692,"_693":694,"_223":695},"callout","In der Klausur lohnt sich diese Reihenfolge: erst einsetzen, dann Form erkennen, dann umformen, erst zum Schluss rechnen. Wer sofort losrechnet, wendet die Grenzwertsätze oft auf unbestimmte Ausdrücke an – und das ist der häufigste Punktabzug.","caption","Vom Ausdruck zum Verfahren","columns",[720,721,722],"rows",[696,697,698,699,700,701,702],"Gradregel für Polynombrüche: Zählergrad < Nennergrad ⇒ 0; gleich ⇒ Quotient der Leitkoeffizienten; größer ⇒ bestimmt divergent.",[718,719,428],[715,716,717],[713,714,277],[711,93,712],[708,709,710],[706,707,277],[703,704,705],"aₙ₊₁ = f(aₙ)","L = f(L) lösen, Konvergenz extra begründen","14","Summe von Potenzen wie 2ⁿ, 3ⁿ","durch die größte Basis teilen","n im Exponenten, Form 1^∞","auf (1 + x/n)ⁿ → eˣ bringen","13","(−1)ⁿ, sin n, cos n im Zähler","9","∞ − ∞ mit Wurzeln","mit dem konjugierten Ausdruck erweitern","∞/∞ bei einem Bruch","durch die höchste Potenz von n teilen; oder Gradregel","11","eine normale Zahl","fertig – Grenzwertsätze direkt anwenden","Was du siehst","Verfahren","Abschnitt","14. Rekursive Grenzwerte","text",[730],"examples",[729],"Vorsicht bei Differenzen zweier divergenter Terme: Erst zusammenfassen, dann den Grenzwert bilden. 3n²/(2n+3) − 6n⁵/(4n⁴+7) sieht nach ∞ − ∞ aus, beide Teile wachsen aber wie (3/2)n; die Leitterme heben sich auf und übrig bleibt −9/4.","a₀ = 0, aₙ₊₁ = (aₙ + 6)/2. Aus L = (L + 6)/2 folgt L = 6; tatsächlich ist aₙ = 6(1 − 2⁻ⁿ) → 6.","Falls eine rekursive Folge aₙ₊₁ = f(aₙ) konvergiert und f stetig ist, erfüllt ihr Grenzwert L = f(L). Diese Gleichung liefert nur Kandidaten; Konvergenz musst du zusätzlich begründen (z. B. über monoton + beschränkt).","13. Die Zahl e als Grenzwert","Grundformel: (1 + 1/n)ⁿ → e. Allgemeiner gilt (1 + x/n)ⁿ → eˣ. Bringe jeden Ausdruck auf diese Gestalt.","rules",[741,742,743,744],[736,737,738,739,740],"(1 + 1/(2n))ⁿ → e^(1/2) = √e; (1 + 1/n)^(2n) → e².","(1 + 1/n)^(n²) → ∞, denn der Exponent wächst schneller.","(1 + 1/(n+1))^(n+10) → e.","((n+3)/(n+2))^(3n−5) = (1 + 1/(n+2))^(3n−5) → e³.","((n−2)/(n−1))ⁿ = (1 − 1/(n−1))ⁿ → e⁻¹ = 1/e.","Ein Faktor im Exponenten wird zum Exponenten von e: (1 + 1/n)^(kn) → eᵏ.","Steht n im Nenner des Bruchs mit einem Faktor, gilt (1 + 1/(kn))ⁿ → e^(1/k).","Ein additiver Summand im Exponenten ändert den Grenzwert nicht, da (1+1/n)^c → 1.","Brüche der Form ((n+a)/(n+b))ⁿ schreibst du als (1 + (a−b)/(n+b))ⁿ → e^(a−b).","12. Exponentialfolgen und Wurzeldifferenzen",[759,760],[755,756,757,758],[750,751,752,753,754],"Merke: ∞ − ∞ ist kein Ergebnis. Bei √-Differenzen immer erst konjugiert erweitern, dann die höchste Potenz von n aus der Wurzel ziehen (√(n²·x) = n·√x für n > 0).","Musterrechnung Wurzelgrenzwert. Gesucht ist lim(n→∞) [√(n²+3n) − √(n²+4n)]. Direkt eingesetzt entsteht ∞ − ∞, also ein unbestimmter Ausdruck – erst umformen.","1. Mit dem konjugierten Ausdruck erweitern: [√(n²+3n) − √(n²+4n)]·[√(n²+3n) + √(n²+4n)] / [√(n²+3n) + √(n²+4n)].","2. Zähler mit der dritten binomischen Formel ausrechnen: (n²+3n) − (n²+4n) = −n. Die Wurzeln sind verschwunden.","3. Im Nenner n ausklammern: √(n²+3n) = n·√(1+3/n) und √(n²+4n) = n·√(1+4/n), also Nenner = n·[√(1+3/n) + √(1+4/n)].","4. Kürzen und Grenzwert bilden: −n / (n·[√(1+3/n)+√(1+4/n)]) = −1/[√(1+3/n)+√(1+4/n)] → −1/(1+1) = −1/2.","(2ⁿ−1)/2ⁿ = 1 − (1/2)ⁿ → 1; (2ⁿ−1)/2ⁿ⁻¹ → 2; 2ⁿ/(1+4ⁿ) → 0.","(2ⁿ−3ⁿ)/(2ⁿ+3ⁿ): durch 3ⁿ teilen ⇒ ((2/3)ⁿ−1)/((2/3)ⁿ+1) → −1.","(2ⁿ+3ⁿ⁺¹)/(2·3ⁿ) = (2/3)ⁿ/2 + 3/2 → 3/2.","√(n²+3n) − √(n²+6n) = −3n/[√(n²+3n)+√(n²+6n)] → −3/2.","Bei Summen von Potenzen dividierst du durch die größte Basis: 2ⁿ gegen 3ⁿ ⇒ durch 3ⁿ teilen, denn (2/3)ⁿ → 0.","Bei √-Differenzen erweiterst du mit dem konjugierten Ausdruck: √A − √B = (A − B)/(√A + √B).","11. Grenzwertsätze bei Brüchen",[774],[770,771,772,773],[765,766,767,768,769],"(1+2n)/(1+n) → 2; (7n³+1)/(n³−10) → 7; (n²+2n+1)/(1+n+n²) → 1.","(n⁵−n⁴)/(6n⁵−1) → 1/6.","(√n+n+n²)/(√(2n)+n²) → 1, weil n² beide Seiten dominiert.","(5−n)⁴/(5+n)⁴ = [(5−n)/(5+n)]⁴ → (−1)⁴ = 1.","(1+2n)¹⁰/(1+n)¹⁰ → 2¹⁰ = 1024; (1+2n)ᵏ/(1+3n)ᵏ → (2/3)ᵏ.","Zählergrad < Nennergrad ⇒ Grenzwert 0.","Zählergrad = Nennergrad ⇒ Quotient der Leitkoeffizienten.","Zählergrad > Nennergrad ⇒ bestimmt divergent (±∞).","Bei Klammerpotenzen wie (2+n)¹⁰/(1+n)¹⁰ erst zu [(2+n)/(1+n)]¹⁰ zusammenfassen, dann den inneren Grenzwert potenzieren.","Teile Zähler und Nenner durch die höchste im Nenner auftretende Potenz von n. Alle Terme der Form 1/nᵏ gehen dann gegen 0.","10. Zerlegen in konstante Folge und Nullfolge","Steht im Zähler eine Summe, teile gliedweise durch den Nenner. Dann liest man den Grenzwert direkt ab.",[784,436,785],[779,780,781,782,783],"(8+n)/(4n) = 8/(4n) + n/(4n) = 2/n + 1/4 → 1/4.","(8+√n)/(4√n) = 2/√n + 1/4 → 1/4.","(8+2ⁿ)/(4·2ⁿ) = 8/(4·2ⁿ) + 1/4 = 2/2ⁿ + 1/4 → 1/4.","(6+n⁴)/(¼n⁴) = 24/n⁴ + 4 → 4.","(4+n³)/n³ = 4/n³ + 1 → 1.","(A + B)/C = A/C + B/C – gliedweise teilen, nicht ausmultiplizieren.","Nullfolgen: 1/n, 1/n², 1/√n, 1/2ⁿ und allgemein qⁿ mit |q| < 1.","9. Einschnürungssatz (Sandwich)","Das Mittel gegen schwankende Zähler wie (−1)ⁿ, sin n oder cos n, deren Grenzwert für sich allein gar nicht existiert.",[795,796],[791,792,793,794],"Ohne den Nenner funktioniert es nicht: (−1)ⁿ allein schwankt zwischen −1 und 1 und divergiert unbestimmt. Erst der wachsende Nenner drückt die Schranken zusammen.","lim (cos n)/n: Aus −1 ≤ cos n ≤ 1 folgt −1/n ≤ (cos n)/n ≤ 1/n. Beide Ränder sind Nullfolgen ⇒ der Grenzwert ist 0.","lim (−1)ⁿ/n² : −1/n² ≤ (−1)ⁿ/n² ≤ 1/n² ⇒ Grenzwert 0.","lim (sin n)/√n : −1/√n ≤ (sin n)/√n ≤ 1/√n ⇒ Grenzwert 0.","Merksatz: beschränkte Folge · Nullfolge = Nullfolge. Genau das steckt hinter diesen Beispielen.","Satz: Gilt bₙ ≤ aₙ ≤ cₙ für alle hinreichend großen n und haben die äußeren Folgen denselben Grenzwert lim bₙ = lim cₙ = L, dann konvergiert auch die eingeschlossene Folge, und zwar gegen denselben Wert: lim aₙ = L.","Standardvorgehen: Schätze den schwankenden Teil durch seine feste Schranke ab. Für alle n gilt −1 ≤ sin n ≤ 1, −1 ≤ cos n ≤ 1 und −1 ≤ (−1)ⁿ ≤ 1. Teile diese Ungleichungskette dann durch den wachsenden Nenner.","8. Grundgrenzwerte und unbestimmte Ausdrücke","Bevor du irgendeine Regel anwendest: Diese Bausteine musst du auswendig können – auf sie läuft am Ende jede Rechnung hinaus.",{"_689":810,"_691":811,"_693":812,"_223":813},[808,809],[803,804,805,806,807],"Dass ∞/∞ unbestimmt ist, siehst du an drei Beispielen mit demselben Typ: n/n² → 0, n/n → 1 und n²/n → ∞. Die Form allein sagt nichts – nur die Umformung.","Unbestimmte Ausdrücke: ∞/∞, 0/0, ∞ − ∞, 0 · ∞ und 1^∞. Hier sind die Grenzwertsätze aus Abschnitt 7 nicht anwendbar.","∞/∞ bei Brüchen ⇒ durch die höchste Potenz von n teilen (Abschnitt 11).","∞ − ∞ mit Wurzeln ⇒ mit dem konjugierten Ausdruck erweitern (Abschnitt 12).","1^∞ mit n im Exponenten ⇒ auf die e-Formel bringen (Abschnitt 13).","Schwankende Terme wie (−1)ⁿ, sin n oder cos n ⇒ Einschnürungssatz (Abschnitt 9).","Vorgehen bei jeder Aufgabe: Setze n → ∞ zuerst im Kopf ein. Kommt eine normale Zahl heraus, bist du über die Grenzwertsätze schon fertig. Kommt einer der unbestimmten Ausdrücke heraus, musst du erst umformen.","Achtung – die häufigsten Irrtümer: ∞/∞ ist nicht 1, ∞ − ∞ ist nicht 0, und 1^∞ ist nicht 1. In allen drei Fällen entscheidet erst die Umformung, welcher Wert wirklich herauskommt.","Die vier Bausteine",[829,830,831],[814,815,816,817],"Bei qⁿ entscheidet |q|: unter 1 Nullfolge, über 1 bestimmt divergent, q = 1 konstant, q = −1 unbestimmt divergent.",[827,822,828],[824,825,826],[821,822,823],[818,819,820],"Wurzeln ⁿ√c (c > 0) und ⁿ√n","→ 1","ⁿ√2 → 1; ⁿ√n → 1","Geometrisch qⁿ mit |q| < 1","→ 0","(0,5)ⁿ → 0; bei |q| > 1 divergent","Konstante c","→ c","lim 5 = 5","Nullfolge 1/nᵖ (p > 0)","1/n, 1/n², 1/√n","Baustein","Grenzwert","Beispiele","7. Was ein Grenzwert ist","Der Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich die Glieder annähern, wenn n immer größer wird.",[871,872,873,874,875],{"_689":852,"_691":853,"_693":854,"_223":855},[844,845,846,847,848,849,850,851],[839,840,841,842,843],"Erst prüfen, ob die Grenzwertsätze anwendbar sind, dann rechnen. Ausdrücke wie ∞ − ∞, ∞/∞ und 0/0 sind unbestimmt und verlangen eine Umformung – genau darum geht es in den Abschnitten 10 bis 14.","Regel 1 + 3: lim (2 + 1/n)/(3 − 1/n²) = (2+0)/(3−0) = 2/3.","Regel 2: lim (1/n)·(5 + 1/n) = 0 · 5 = 0.","Regel 4: lim (1 + 1/n)³ = 1³ = 1 – der Exponent 3 ist fest.","Regel 5: lim (1 + 1/n)ⁿ = e – hier wächst der Exponent mit; das Ergebnis ist nicht 1ⁿ = 1.","Regel 4 verlangt Konvergenz der Basis: lim (n/(n+1))⁵ = 1⁵ = 1, aber lim n⁵ existiert nicht.","Grenzwertsätze – Voraussetzung: aₙ und bₙ sind konvergent mit lim aₙ = a und lim bₙ = b. Nur dann darfst du den Limes auf die einzelnen Bausteine verteilen.","1. Summe und Differenz: lim (aₙ ± bₙ) = lim aₙ ± lim bₙ = a ± b.","2. Produkt: lim (aₙ · bₙ) = lim aₙ · lim bₙ = a · b. Sonderfall konstanter Faktor: lim (c · aₙ) = c · a.","3. Quotient: lim (aₙ/bₙ) = (lim aₙ)/(lim bₙ) = a/b, sofern b ≠ 0 (und bₙ ≠ 0).","4. Potenz: lim (aₙ)ᵏ = (lim aₙ)ᵏ = aᵏ für festes k. Der Exponent muss konstant sein – er darf nicht von n abhängen.","5. Exponent mit n: Bei lim (aₙ)ⁿ versagt Regel 4, weil der Exponent mitwächst. Hier gilt die e-Formel: lim (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,718 und allgemein lim (1 + a/n)ⁿ = eᵃ (Abschnitt 13).","Die Sätze gelten nur, wenn beide Grenzwerte existieren und endlich sind. Bei ∞ − ∞ oder 0·∞ musst du erst umformen.","Wichtige Nullfolgen: 1/n, 1/n², 1/√n und qⁿ mit |q| < 1.","Die drei Fälle",[868,869,870],[856,857,858],"Eine Folge mit Grenzwert 0 heißt Nullfolge. Konvergente Folgen sind immer beschränkt – die Umkehrung gilt nicht.",[865,866,867],[862,863,864],[859,860,861],"unbestimmt divergent","die Glieder pendeln, ohne sich festzulegen","(−1)ⁿ springt zwischen −1 und 1","bestimmt divergent","die Glieder wachsen über jede Schranke","n² → +∞; −n → −∞","konvergent","es gibt einen endlichen Grenzwert L","1/n → 0; (1+1/n) → 1","Fall","Bedeutung","Beispiel","Schreibweise: lim(n→∞) aₙ = L, gesprochen „Limes von aₙ für n gegen unendlich ist L“. Kurz schreibt man auch aₙ → L.","Die genaue Bedeutung: aₙ → L heißt, dass ab einem ausreichend großen Index alle folgenden Glieder beliebig nahe bei L liegen. Formal: Zu jedem noch so kleinen ε > 0 gibt es ein N, sodass |aₙ − L| < ε für alle n > N gilt.","Wichtig: Einzelne frühe Glieder spielen keine Rolle. Es zählt nur das Verhalten für große n. Die Folge muss L auch nicht erreichen – 1/n wird nie 0, hat aber den Grenzwert 0.","Definition: Eine Folge aₙ heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt, also lim(n→∞) aₙ = a gilt. Sonst heißt die Folge divergent. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge.","Monotoniekriterium: Eine Folge, die monoton und beschränkt ist, ist auch konvergent. Umgekehrt gilt das nicht! aₙ = (−1)ⁿ/n konvergiert gegen 0, ist aber nicht monoton.","6. Beschränktheit nachweisen",[891],[888,889,890],[881,882,883,884,885,886,887],"Monoton + beschränkt ⇒ konvergent. Beschränkt allein reicht nicht, siehe (−1)ⁿ.","(n)ₙ∈ℕ = 1, 2, 3, 4, … ist streng monoton steigend, aber nach oben nicht beschränkt ⇒ nicht beschränkt.","aₙ = 1/n ist streng monoton fallend, also durch a₁ = 1 nach oben und durch 0 nach unten begrenzt: 0 < aₙ ≤ a₁ = 1.","aₙ = 1 + 1/n: fällt von 2 aus, bleibt über 1 ⇒ 1 < aₙ ≤ 2.","aₙ = (−1)ⁿ: nicht monoton, aber −1 ≤ aₙ ≤ 1 ⇒ beschränkt.","aₙ = 1 + (−1)ⁿ/n: nicht monoton, aber 1/2 ≤ aₙ ≤ 3/2.","aₙ = n²/100 + n: wächst unbeschränkt ⇒ nur nach unten beschränkt.","aₙ = 8n/(n²+1) hat bei n = 1 den Wert 4, danach fällt sie ⇒ 0 < aₙ ≤ 4.","Gib immer eine konkrete Schranke an – „ist beschränkt“ allein ist kein Nachweis.","Eine monoton fallende Folge ist durch ihr erstes Glied nach oben beschränkt, eine monoton wachsende durch ihr erstes Glied nach unten.","Konvergente Folgen sind stets beschränkt; unbeschränkte Folgen divergieren.","Nach oben beschränkt heißt: Es gibt ein S mit aₙ ≤ S für alle n. Nach unten beschränkt heißt: Es gibt ein s mit aₙ ≥ s. Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie von oben und von unten beschränkt ist.","5. Monotonie nachweisen","Zuerst die Sprechweise festlegen, dann eines der zwei Standardverfahren anwenden.",{"_689":905,"_691":906,"_693":907,"_223":908},[902,903,904],[898,899,900,901],"Bei Brüchen mit n im Zähler und Nenner lohnt sich oft erst eine Umformung, z. B. (n+1)/(5n) = 1/5 + 1/(5n).","aₙ = 1 + 1/n: aₙ₊₁ − aₙ = 1/(n+1) − 1/n = −1/[n(n+1)] < 0 ⇒ streng fallend.","aₙ = (3/4)ⁿ: aₙ₊₁/aₙ = 3/4 < 1 ⇒ streng fallend.","aₙ = 1/n²: aₙ₊₁/aₙ = n²/(n+1)² < 1 ⇒ streng fallend.","aₙ = (n²−1)/n = n − 1/n: beide Teile wachsen ⇒ streng wachsend, unbeschränkt.","Differenzverfahren: Bilde aₙ₊₁ − aₙ. Ist sie immer > 0, wächst die Folge streng; immer < 0, fällt sie streng.","Quotientenverfahren (nur bei aₙ > 0): Bilde aₙ₊₁/aₙ. Ist der Quotient > 1, wächst die Folge; < 1, fällt sie.","Alternierende Folgen wie (−1)ⁿ sind niemals monoton – das genügt als Begründung.","Die sechs Fälle (gilt jeweils für alle n)",[931,932,870],[909,910,911,912,913,914],"„Streng“ verlangt das echte Zeichen > bzw. <. Eine konstante Folge ist monoton steigend und monoton fallend zugleich, aber in keiner Richtung streng.",[928,929,930],[925,926,927],[922,923,924],[920,921,659],[918,919,557],[915,916,917],"konstant","aₙ₊₁ = aₙ","aₙ = c","nicht monoton","keins von beidem","streng monoton fallend","aₙ₊₁ < aₙ","monoton fallend","aₙ₊₁ ≤ aₙ","aₙ = 3, 3, 2, 1, 1, …","streng monoton steigend (s. m. s.)","aₙ₊₁ > aₙ","aₙ = n; aₙ = n²","monoton steigend","aₙ₊₁ ≥ aₙ","aₙ = 1, 1, 2, 3, 3, …","Bezeichnung","Bedingung","4. Bildungsgesetz erkennen","Vorgehen: Differenzen bilden (arithmetisch?), Quotienten bilden (geometrisch?), auf Quadrate, Potenzen und Vorzeichenwechsel achten.",{"_689":936,"_691":937,"_693":938,"_223":939},"Typische Muster",[971,972,973],[940,941,942,943,944,945,946,947],"Bei alternierenden Folgen liefert (−1)ⁿ den Wechsel; teste am ersten Glied, ob (−1)ⁿ oder (−1)ⁿ⁺¹ passt.",[969,915,970],[966,967,968],[963,964,965],[960,961,962],[957,958,959],[954,955,956],[951,952,953],[948,949,950],"1, 4, 27, 256, 3125, …","Basis = Exponent","aₙ = nⁿ","1/4, 1/2, 1, 2, 4, …","Faktor 2, Start 1/4","aₙ = 2ⁿ⁻³ = 2ⁿ/8","1, 3, 7, 15, 31, …","je +1 ergibt 2ⁿ","aₙ = 2ⁿ − 1","2, −2, 2, −2, …","Vorzeichenwechsel","aₙ = 2·(−1)ⁿ⁺¹","2, 3/2, 4/3, 5/4, …","Zähler = Nenner + 1","aₙ = (n+1)/n","1, 4, 9, 16, 25, …","Quadratzahlen","aₙ = n²","−4, −1, 2, 5, 8, …","Differenz 3","aₙ = 3n − 7","−1, −1, −1, …","aₙ = −1","Folge","Muster","aₙ","3. Die Fibonacci-Folge","Das Standardbeispiel für eine Rekursion zweiter Ordnung: Jedes Glied ist die Summe seiner beiden Vorgänger.",[1012,1013,1014,1015,1016],{"_689":985,"_691":986,"_693":987,"_223":988},[980,981,982,983,984],"Merke den Unterschied: Die rekursive Form sagt, wie es weitergeht; die explizite Form sagt, was an Stelle n steht. Für f₁₀₀ ist nur die explizite Form praktikabel – rekursiv bräuchtest du 98 Zwischenschritte.","Erste Glieder: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …","f₁₀ rekursiv: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ⇒ f₁₀ = 55.","f₁₀ explizit: (φ¹⁰ − ψ¹⁰)/√5 = (122,992 − 0,008)/2,236 = 55.","Weil |ψ| ≈ 0,618 < 1, ist ψⁿ eine Nullfolge. Für große n gilt deshalb fₙ ≈ φⁿ/√5, gerundet auf die nächste ganze Zahl.","Die Quotienten fₙ₊₁/fₙ = 1, 2, 1,5, 1,6667, 1,6, 1,625, … konvergieren gegen φ ≈ 1,618.","Beide Darstellungen im Vergleich",[1009,1010,1011],[989,990,991,992,993],"φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 ist der goldene Schnitt, ψ = (1−√5)/2 ≈ −0,618.",[1006,1007,1008],[1003,1004,1005],[1000,1001,1002],[997,998,999],[994,995,996],"Nachteil","alle Vorgänger nötig","Wurzeln, Rundungsfehler im Taschenrechner","Vorteil","kurz, zeigt die Bauidee","springt sofort zu jedem Index","f₁₀ berechnen","erst f₃ bis f₉, dann f₁₀ = 55","direkt einsetzen ⇒ 55","Startwerte nötig","ja: f₁ = f₂ = 1","nein","Vorschrift","fₙ₊₂ = fₙ₊₁ + fₙ","fₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5","","Rekursiv","Explizit (Binet)","Rekursive Darstellung: f₁ = 1, f₂ = 1 und fₙ₊₂ = fₙ₊₁ + fₙ für n ≥ 1. Weil die Vorschrift zwei Vorgänger benutzt, reicht ein Startwert nicht aus – es braucht zwei. Manche Bücher beginnen stattdessen mit f₀ = 0, f₁ = 1; die Glieder bleiben dieselben, nur die Nummerierung verschiebt sich um eins.","So entstehen die Glieder Schritt für Schritt: f₃ = 1 + 1 = 2, f₄ = 2 + 1 = 3, f₅ = 3 + 2 = 5, f₆ = 5 + 3 = 8, f₇ = 8 + 5 = 13, f₈ = 13 + 8 = 21.","Die Folge ist streng monoton steigend ab f₂ und nach oben unbeschränkt, also divergent. Sie ist weder arithmetisch (die Differenzen 0, 1, 1, 2, 3, … sind nicht konstant) noch geometrisch (die Quotienten 1, 2, 1,5, 1,667, … sind nicht konstant).","Explizite Darstellung (Formel von Binet): Obwohl die Rekursion nur ganze Zahlen liefert, steckt dahinter eine Formel mit Wurzeln. Mit dem goldenen Schnitt φ = (1+√5)/2 und ψ = (1−√5)/2 gilt fₙ = (φⁿ − ψⁿ)/√5. Jedes Einsetzen ergibt trotz der √5 eine ganze Zahl, weil sich die Wurzeln gegenseitig aufheben.","Woher kommt die Formel? Man setzt den Ansatz fₙ = xⁿ in die Rekursion ein: xⁿ⁺² = xⁿ⁺¹ + xⁿ. Nach Division durch xⁿ bleibt die charakteristische Gleichung x² = x + 1, also x² − x − 1 = 0. Die Mitternachtsformel liefert genau die beiden Lösungen φ und ψ. Die allgemeine Lösung ist fₙ = A·φⁿ + B·ψⁿ; aus f₁ = f₂ = 1 folgt A = 1/√5 und B = −1/√5.","2. Von rekursiv zu explizit",[1029],[1025,1026,1027,1028],[1021,1022,1023,1024],"a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2 + aₙ: 1, 3, 5, 7, … ⇒ aₙ = 2n − 1.","a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2·aₙ: 1, 2, 4, 8, … ⇒ aₙ = 2ⁿ⁻¹.","a₁ = ½, aₙ₊₁ = 1/aₙ: ½, 2, ½, 2, … ⇒ ungerade Indizes ½, gerade 2.","a₁ = 0, a₂ = 1, aₙ₊₂ = aₙ + aₙ₊₁: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …","aₙ₊₁ = aₙ + d ⇒ aₙ = a₁ + (n−1)d (arithmetisch).","aₙ₊₁ = q·aₙ ⇒ aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ (geometrisch).","aₙ₊₁ = 1/aₙ ⇒ die Folge springt zwischen zwei Werten hin und her.","aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ ist die Fibonacci-Rekursion; sie greift auf zwei Vorgänger zurück und braucht deshalb zwei Startwerte (Abschnitt 3).","Berechne erst einige Glieder und suche dann das Muster. Konstante Differenz heißt arithmetisch, konstanter Faktor heißt geometrisch.","1. Eine Folge ist eine nummerierte Liste",[1038],[1034,1035,1036,1037],"Prüfe immer, ob der Index bei 0 oder bei 1 beginnt. Bei (−1)ⁿ entscheidet das über das Vorzeichen des ersten Glieds.","Explizit: aₙ = 2n + 1 mit n ≥ 1 ergibt 3, 5, 7, 9, …","Rekursiv: a₁ = 3 und aₙ₊₁ = aₙ + 2 ergibt dieselbe Folge.","aₙ = (−1)ⁿ springt zwischen −1 und 1; aₙ = 2 ist konstant.","aₙ = sin(πn/2) hat die Periode 4: 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, …","Eine Folge ordnet jedem Index n eine Zahl aₙ zu. Eine explizite Vorschrift berechnet aₙ direkt aus n. Eine rekursive Vorschrift verwendet vorherige Glieder und benötigt einen Anfangswert.","Explizite und rekursive Folgen lesen und umwandeln","Bildungsgesetz aus den ersten Gliedern erkennen","Monotonie und Beschränktheit sauber nachweisen","Grenzwerte mit den Grenzwertsätzen und der e-Formel berechnen","Übungsblatt 4 - Folgen.pdf"]