Folgen und Grenzwerte

1. Folgen lesen

Eine Folge ordnet jedem Index $n$ eine Zahl $a_n$ zu. Prüfe, ob die Nummerierung bei $0$ oder $1$ beginnt.

Explizit: $a_n=2n+1$ liefert das Glied direkt. Rekursiv: $a_1=3,\ a_{n+1}=a_n+2$ braucht einen Anfangswert.

Beide Vorschriften ergeben für $n\ge1$ die Folge $3,5,7,9,\dots$.

2. Arithmetisch oder geometrisch?

Art	Erkennungsmerkmal	Formel für $n\ge1$
Arithmetisch	Konstante Differenz $d$	$a_n=a_1+(n-1)d$
Geometrisch	Konstanter Faktor $q$	$a_n=a_1q^{n-1}$

Beispiel

Bei $a_1=5$ und $d=3$ gilt $a_{10}=5+9\cdot3=32$.

Bei $a_1=80$ und $q=\frac12$ gilt

$$a_4=80\left(\frac12\right)^3=10.$$

Bei Zinseszinsen startet die Zeit oft bei $0$: $K_n=K_0(1+p)^n$.

3. Die Fibonacci-Folge

Das Standardbeispiel einer Rekursion zweiter Ordnung: Jedes Glied ist die Summe seiner beiden Vorgänger.

Rekursiv:

$$f_1=1,\quad f_2=1,\qquad f_{n+2}=f_{n+1}+f_n\ (n\ge1).$$

Weil die Vorschrift zwei Vorgänger benutzt, genügt ein einzelner Startwert nicht — es braucht zwei. So entstehen die Glieder:

$$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\dots$$

Die Folge ist weder arithmetisch (Differenzen $0,1,1,2,3,\dots$) noch geometrisch (Quotienten $1,2,1{,}5,\dots$), streng monoton steigend ab $f_2$ und unbeschränkt, also divergent.

Explizit (Formel von Binet): Mit dem goldenen Schnitt $\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ und $\psi=\frac{1-\sqrt5}{2}$ gilt

$$f_n=\frac{\varphi^{\,n}-\psi^{\,n}}{\sqrt5}.$$

Woher kommt die Formel?

Setze den Ansatz $f_n=x^n$ in die Rekursion ein:

$$x^{n+2}=x^{n+1}+x^n \quad\Big|\;:x^n \qquad\Longrightarrow\qquad x^2=x+1.$$

Die charakteristische Gleichung $x^2-x-1=0$ hat nach der Mitternachtsformel genau die Lösungen $\varphi$ und $\psi$. Die allgemeine Lösung lautet $f_n=A\varphi^n+B\psi^n$; aus $f_1=f_2=1$ folgt $A=\frac1{\sqrt5}$ und $B=-\frac1{\sqrt5}$.

Beide Wege im Vergleich

	Rekursiv	Explizit
Vorschrift	$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$	$f_n=(\varphi^n-\psi^n)/\sqrt5$
Startwerte nötig	ja: $f_1=f_2=1$	nein
$f_{10}$	erst $f_3\dots f_9$, dann $55$	direkt einsetzen: $55$
Vorteil	kurz, zeigt die Bauidee	springt sofort zu jedem Index
Nachteil	alle Vorgänger nötig	Wurzeln, Rundungsfehler

Probe für $n=10$:

$$\frac{\varphi^{10}-\psi^{10}}{\sqrt5} =\frac{122{,}992-0{,}008}{2{,}236} =55.$$

Wegen $|\psi|\approx0{,}618<1$ ist $\psi^n$ eine Nullfolge. Für große $n$ gilt daher $f_n\approx\varphi^n/\sqrt5$, gerundet auf die nächste ganze Zahl. Die Quotienten $f_{n+1}/f_n$ konvergieren gegen $\varphi\approx1{,}618$.

4. Monotonie und Beschränktheit

Untersuche das Vorzeichen von $a_{n+1}-a_n$:

• positiv: streng wachsend;
• negativ: streng fallend;
• nichtnegativ bzw. nichtpositiv: monoton.

Bezeichnung	Bedingung	Beispiel
monoton steigend	$a_{n+1}\ge a_n$	$1,1,2,3,3,\dots$
streng monoton steigend	$a_{n+1}>a_n$	$a_n=n$, $a_n=n^2$
monoton fallend	$a_{n+1}\le a_n$	$3,3,2,1,1,\dots$
streng monoton fallend	$a_{n+1}<a_n$	$a_n=\frac1n$
nicht monoton	keins von beidem	$a_n=(-1)^n$
konstant	$a_{n+1}=a_n$	$a_n=c$

Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie von oben und von unten beschränkt ist, also feste Zahlen $m,M$ mit $m\le a_n\le M$ für alle Indizes existieren.

$(n)_{n\in\mathbb N}=1,2,3,\dots$ ist streng monoton steigend, aber nach oben unbeschränkt – also nicht beschränkt. Dagegen gilt für $a_n=\frac1n$

$$0<a_n\le a_1=1.$$

Beispiel

$$a_n=1-\frac1n,\qquad a_{n+1}-a_n=\frac1n-\frac1{n+1} =\frac1{n(n+1)}>0.$$

Außerdem gilt $0\le a_n<1$ für $n\ge1$. Die Folge wächst und ist beschränkt.

Eine monotone, beschränkte reelle Folge konvergiert. Beschränktheit allein reicht nicht: $(-1)^n$ springt zwischen $-1$ und $1$.

5. Grenzwerte berechnen

$a_n\to L$ bedeutet: Ab einem ausreichend großen Index liegen alle Folgenglieder beliebig nahe bei $L$.

Eine Folge $a_n$ heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt:

$$\lim_{n\to\infty}a_n=a.$$

Sonst heißt die Folge divergent. Eine Folge, die gegen null konvergiert, heißt Nullfolge.

Eine Folge, die monoton und beschränkt ist, ist auch konvergent. Umgekehrt gilt das nicht! $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$ konvergiert gegen $0$, ist aber nicht monoton.

Die vier Bausteine

Diese Standardgrenzwerte musst du auswendig können – auf sie läuft am Ende jede Rechnung hinaus.

Baustein	Grenzwert	Beispiele
$\frac1{n^p}$ für $p>0$	$\to0$	$\frac1n,\ \frac1{n^2},\ \frac1{\sqrt n}$
Konstante $c$	$\to c$	$\lim 5=5$
$q^n$ mit $\lvert q\rvert<1$	$\to0$	$(0{,}5)^n\to0$
$\sqrt[n]{c}$ mit $c>0$, und $\sqrt[n]{n}$	$\to1$	$\sqrt[n]2\to1$

Grenzwertsätze

Voraussetzung: $a_n$ und $b_n$ sind konvergent mit $\lim a_n=a$ und $\lim b_n=b$. Nur dann darf der Limes auf die einzelnen Bausteine verteilt werden.

1. Summe und Differenz

$$\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n) =\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n =a\pm b$$

2. Produkt

$$\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) =\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n =a\cdot b$$

3. Quotient (für $b\ne0$)

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n} =\frac ab$$

4. Potenz mit festem Exponenten $k$

$$\lim_{n\to\infty}(a_n)^k=a^k$$

5. Exponent mit $n$. Bei $\lim(a_n)^n$ versagt Regel 4, weil der Exponent mitwächst. Stattdessen gilt

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e\approx2{,}718 \qquad\text{oder allgemein}\qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac an\right)^n=e^{a}.$$

Achte auf den Unterschied zwischen Regel 4 und 5: $(1+\frac1n)^3\to1$, aber $(1+\frac1n)^n\to e$. Ein fester Exponent darf mitgezogen werden, ein mitwachsender nicht.

Bei rationalen Ausdrücken teilst du durch die höchste Potenz von $n$:

$$\frac{3n^2+2n}{2n^2-1} =\frac{3+2/n}{2-1/n^2} \longrightarrow\frac32.$$

Wichtige Fälle:

$$\frac1n\to0,\qquad |q|<1\Rightarrow q^n\to0.$$

Bei $q>1$ wächst $q^n$ unbegrenzt. Das ist kein endlicher Grenzwert.

6. Unbestimmte Ausdrücke und der Einschnürungssatz

Setze $n\to\infty$ zuerst im Kopf ein. Kommt eine normale Zahl heraus, bist du über die Grenzwertsätze fertig. Kommt dagegen einer dieser Ausdrücke heraus, sind die Grenzwertsätze nicht anwendbar:

$$\frac\infty\infty,\qquad \frac00,\qquad \infty-\infty,\qquad 0\cdot\infty,\qquad 1^\infty.$$

Die häufigsten Irrtümer: $\frac\infty\infty$ ist nicht $1$, $\infty-\infty$ ist nicht $0$, und $1^\infty$ ist nicht $1$. Dass die Form allein nichts aussagt, zeigen drei Brüche desselben Typs: $\frac{n}{n^2}\to0$, $\frac nn\to1$, $\frac{n^2}{n}\to\infty$.

Erst umformen, dann den Grenzwert bilden.

Einschnürungssatz (Sandwich)

Das Mittel gegen schwankende Terme wie $(-1)^n$, $\sin n$ oder $\cos n$, deren Grenzwert für sich allein gar nicht existiert.

Satz. Gilt $b_n\le a_n\le c_n$ für alle hinreichend großen $n$ und haben die äußeren Folgen denselben Grenzwert $\lim b_n=\lim c_n=L$, so konvergiert auch $a_n$ gegen $L$.

Schätze dazu den schwankenden Teil durch seine feste Schranke ab und teile die Ungleichungskette durch den wachsenden Nenner:

$$-1\le\cos n\le1 \qquad\Longrightarrow\qquad -\frac1n\le\frac{\cos n}{n}\le\frac1n.$$

Beide Ränder sind Nullfolgen, also gilt

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\cos n}{n}=0.$$

Genauso folgt $\frac{(-1)^n}{n^2}\to0$ und $\frac{\sin n}{\sqrt n}\to0$.

Merksatz: beschränkte Folge $\cdot$ Nullfolge $=$ Nullfolge. Ohne den wachsenden Nenner geht es nicht – $(-1)^n$ allein divergiert unbestimmt.

7. Wurzelausdrücke umformen

Bei einer Differenz von Wurzeln erweitere mit dem konjugierten Ausdruck:

$$\sqrt{n^2+n}-n =\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} =\frac1{\sqrt{1+1/n}+1} \longrightarrow\frac12.$$

So vermeidest du den nicht definierten Ausdruck „unendlich minus unendlich“.

Musterrechnung

Gesucht ist $\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2+4n}\right)$. Direkt eingesetzt entsteht $\infty-\infty$, also ein unbestimmter Ausdruck.

1. Konjugiert erweitern.

$$\frac{\left(\sqrt{n^2+3n}-\sqrt{n^2+4n}\right)\left(\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2+4n}\right)}{\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2+4n}}$$

2. Zähler mit der dritten binomischen Formel. Die Wurzeln verschwinden:

$$(n^2+3n)-(n^2+4n)=-n.$$

3. Im Nenner $n$ ausklammern. Für $n>0$ gilt $\sqrt{n^2x}=n\sqrt{x}$:

$$\sqrt{n^2+3n}+\sqrt{n^2+4n} =n\left(\sqrt{1+\tfrac3n}+\sqrt{1+\tfrac4n}\right).$$

4. Kürzen und Grenzwert bilden.

$$\frac{-n}{n\left(\sqrt{1+\tfrac3n}+\sqrt{1+\tfrac4n}\right)} =\frac{-1}{\sqrt{1+\tfrac3n}+\sqrt{1+\tfrac4n}} \longrightarrow\frac{-1}{1+1}=-\frac12.$$

8. Rekursive Grenzwerte

Wenn $a_{n+1}=f(a_n)$ konvergiert und $f$ an der Grenzstelle stetig ist, erfüllt der Grenzwert

$$L=f(L).$$

Das liefert zunächst nur Kandidaten.

Für $a_0=0$ und $a_{n+1}=(a_n+6)/2$ folgt $L=6$. Die explizite Darstellung $a_n=6(1-2^{-n})$ bestätigt die Konvergenz.

9. Checkliste: Welches Verfahren wann?

Setze $n\to\infty$ zuerst im Kopf ein und schau, welche Form entsteht. Die Form bestimmt das Verfahren.

Was du siehst	Verfahren	Abschnitt
eine normale Zahl	fertig – Grenzwertsätze direkt anwenden	5
$\frac\infty\infty$ bei einem Bruch	durch die höchste Potenz von $n$ teilen	5
$\infty-\infty$ mit Wurzeln	konjugiert erweitern	7
$(-1)^n$, $\sin n$, $\cos n$ im Zähler	Einschnürungssatz	6
$n$ im Exponenten, Form $1^\infty$	auf $(1+\frac xn)^n\to e^x$ bringen	5
$a_{n+1}=f(a_n)$	$L=f(L)$ lösen, Konvergenz extra begründen	8

Gradregel für Polynombrüche: Zählergrad $<$ Nennergrad $\Rightarrow0$; gleich $\Rightarrow$ Quotient der Leitkoeffizienten; größer $\Rightarrow$ bestimmt divergent.

Reihenfolge in der Klausur: erst einsetzen, dann Form erkennen, dann umformen, erst zum Schluss rechnen. Wer sofort losrechnet, wendet die Grenzwertsätze oft auf unbestimmte Ausdrücke an – der häufigste Punktabzug.