Summen und Produkte

1. Das Summenzeichen lesen

$$\sum_{k=m}^{n}a_k=a_m+a_{m+1}+\dots+a_n.$$

• $k$ ist der Laufindex, $m$ die untere, $n$ die obere Grenze.
• Der Index läuft in Einerschritten von $m$ bis $n$. Für jeden Wert setzt du ihn in den Summanden ein.
• Anzahl der Summanden: $n-m+1$.
• Der Name des Index ist egal: $\sum_{k=1}^{3}k=\sum_{i=1}^{3}i$.

Beispiel

$$\sum_{k=2}^{5}k^2=2^2+3^2+4^2+5^2=4+9+16+25=54.$$

Kommt der Index im Summanden gar nicht vor, wird derselbe Wert in jedem Schritt addiert:

$$\sum_{k=1}^{4}3=3+3+3+3=12,\qquad \sum_{i=20}^{24}x^3=5x^3.$$

Nur die Variable, die unter dem Σ steht, wird eingesetzt. Andere Buchstaben wie $x$ bleiben stehen.

Vorzeichen mit $(-1)^k$

$(-1)^k$ ist $+1$ für gerades $k$ und $-1$ für ungerades $k$. So entstehen alternierende Summen:

$$\sum_{k=1}^{4}(-1)^k k=-1+2-3+4=2.$$

Setze bei Ausdrücken wie $(-1)^{k+1}(k-3)$ jeden Index einzeln ein und schreibe eine kleine Tabelle. Ein Summand kann auch $0$ werden.

2. Rechenregeln für Summen

$$\sum_{k=m}^{n}c\,a_k=c\sum_{k=m}^{n}a_k,\qquad \sum_{k=m}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=m}^{n}a_k+\sum_{k=m}^{n}b_k,\qquad \sum_{k=m}^{n}c=(n-m+1)\,c.$$

Du darfst eine Summe auch aufteilen: $\sum_{k=1}^{10}a_k=\sum_{k=1}^{4}a_k+\sum_{k=5}^{10}a_k$.

Beispiel

$$\sum_{k=1}^{5}(2k+1)=2\sum_{k=1}^{5}k+\sum_{k=1}^{5}1=2\cdot15+5=35.$$

Im Allgemeinen gilt $\sum a_kb_k\ne\left(\sum a_k\right)\left(\sum b_k\right)$ und $\sum a_k^2\ne\left(\sum a_k\right)^2$.

3. Wichtige Summenformeln

Summe	Formel	Beispiel
$\sum_{k=1}^{n}k$ (Gauß)	$\frac{n(n+1)}{2}$	$1+\dots+100=5050$
$\sum_{k=1}^{n}k^2$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$	$1+4+9+16=30$
$\sum_{k=1}^{n}k^3$	$\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$	$1+8+27=36=6^2$
$\sum_{k=0}^{n-1}q^k$, $q\ne1$	$\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{q^n-1}{q-1}$	$1+2+4+8=15$

Arithmetische Summe (konstante Differenz): $S=\text{Anzahl}\cdot\frac{\text{erster}+\text{letzter}}{2}$.

Geometrische Summe (konstanter Faktor $q$), wenn sie nicht bei $q^0$ beginnt:

$$S=\text{erster Summand}\cdot\frac{1-q^{N}}{1-q},\qquad N=\text{Anzahl der Summanden}.$$

Beispiel

$$\sum_{k=3}^{6}2^k=2^3\cdot\frac{1-2^{4}}{1-2}=8\cdot15=120 \quad(\text{Kontrolle: }8+16+32+64=120).$$ $$\sum_{k=2}^{11}3\left(\tfrac12\right)^k =\underbrace{3\cdot\tfrac14}_{\text{erster}}\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{10}}{1-\frac12} =\tfrac32\left(1-2^{-10}\right).$$

Fehlerquelle Nr. 1: die Anzahl der Summanden. Von $k=4$ bis $k=27$ sind es $27-4+1=24$, nicht $23$.

4. Eine Summe selbst aufstellen

Um $a_1+a_2+\dots$ als $\sum$ zu schreiben, suchst du eine Formel $a_k$ für das $k$-te Glied.

Rezept

1. Differenzen benachbarter Glieder ansehen. Konstant ⇒ arithmetisch: $a_k=dk+c$.
2. Quotienten ansehen. Konstant ⇒ geometrisch: $a_k=c\cdot q^k$.
3. Bekannte Zahlenfolgen erkennen (Tabelle unten).
4. Vorzeichen getrennt behandeln: $(-1)^k$ oder $(-1)^{k+1}$.
5. Grenzen wählen und mit dem ersten und letzten Glied kontrollieren.

Glieder	Formel
$1,2,3,4,\dots$	$k$
$2,4,6,8,\dots$	$2k$
$1,3,5,7,\dots$	$2k-1$
$3,7,11,15,\dots$ (Differenz 4)	$4k-1$
$1,4,9,16,\dots$	$k^2$
$1,8,27,64,\dots$	$k^3$
$2,5,10,17,\dots$	$k^2+1$
$3,9,27,\dots$	$3^k$
$1,\frac12,\frac13,\dots$	$\frac1k$
$+,-,+,-,\dots$ beginnend mit $+$ bei $k=1$	$(-1)^{k+1}$
$-,+,-,+,\dots$ beginnend mit $-$ bei $k=1$	$(-1)^{k}$

Beispiele

$$3+7+11+15+19=\sum_{k=1}^{5}(4k-1).$$

Differenz $4$ ⇒ $4k+c$. Für $k=1$ soll $3$ herauskommen, also $c=-1$.

$$\tfrac19+\tfrac13+1+3+9=\sum_{k=-2}^{2}3^k.$$

Grenzen dürfen negativ sein. $3^{-2}=\frac19$.

$$5-10+15-20+25=\sum_{k=1}^{5}(-1)^{k+1}\cdot5k.$$ $$3x+9x^2+27x^3=\sum_{k=1}^{3}3^kx^k=\sum_{k=1}^{3}(3x)^k.$$

Es gibt fast immer mehrere richtige Antworten. $\sum_{k=1}^{5}(4k-1)$ und $\sum_{k=0}^{4}(4k+3)$ erzeugen dieselben Summanden. Die Reihenfolge der Summanden ist egal: $\frac14+\frac13+\frac12+1=\sum_{k=1}^{4}\frac1k$.

5. Indexverschiebung

Du kannst den Startwert des Index ändern, ohne den Wert der Summe zu ändern:

$$\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m-s}^{n-s}a_{k+s}.$$

Merksatz: Senkst du beide Grenzen um $s$, dann ersetzt du im Summanden jedes $k$ durch $k+s$. Erhöhst du die Grenzen, ersetzt du $k$ durch $k-s$.

Beispiel 1: Start bei $0$ statt bei $2$

$$\sum_{k=2}^{n}\frac{k+1}{2^{k}} =\sum_{k=0}^{n-2}\frac{(k+2)+1}{2^{k+2}} =\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k+3}{2^{k+2}}.$$

Kontrolle: Der erste Summand ist links bei $k=2$ und rechts bei $k=0$ jeweils $\frac34$.

Beispiel 2: Der Summand ist vorgegeben

Aus $\prod_{l=2}^{5}\frac{l+1}{l}$ soll $\prod\frac{l+4}{\dots}$ werden. Damit $l+1$ zu $l+4$ wird, ersetzt du $l$ durch $l+3$. Die Grenzen sinken um $3$:

$$\prod_{l=2}^{5}\frac{l+1}{l}=\prod_{l=-1}^{2}\frac{l+4}{l+3}.$$

Dasselbe Verfahren funktioniert für $\sum$ und $\prod$.

6. Das Produktzeichen Π

$$\prod_{k=m}^{n}a_k=a_m\cdot a_{m+1}\cdots a_n.$$

Regeln

• Konstanter Faktor: $\prod_{k=m}^{n}c=c^{\,n-m+1}$, nicht $c$ und nicht $(n-m+1)c$.
• Faktor herausziehen: $\prod_{k=1}^{n}c\,a_k=c^n\prod_{k=1}^{n}a_k$.
• Potenzen gleicher Basis: $\prod_{k=m}^{n}a^{k}=a^{\,m+(m+1)+\dots+n}$. Exponenten addieren!
• Ist ein Faktor $0$, dann ist das ganze Produkt $0$. Prüfe deshalb den ersten Index, zum Beispiel $k=0$.
• Vorzeichen: Das Produkt ist negativ, wenn eine ungerade Anzahl von Faktoren negativ ist.

Beispiele

$$\prod_{k=1}^{4}(k+1)=2\cdot3\cdot4\cdot5=120,\qquad \prod_{k=1}^{3}2x=(2x)^3=8x^3.$$ $$\prod_{k=-2}^{4}a^k=a^{-2-1+0+1+2+3+4}=a^{7},\qquad \prod_{k=1}^{n}5^k=5^{\frac{n(n+1)}{2}}.$$ $$\prod_{k=1}^{4}(2k-5)=(-3)(-1)\cdot1\cdot3=9\quad(\text{zwei negative Faktoren}).$$

Leeres Produkt (obere Grenze kleiner als untere): $1$. Leere Summe: $0$.

7. Fakultät

$$n!=\prod_{k=1}^{n}k=1\cdot2\cdot3\cdots n,\qquad0!=1.$$

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7
$n!$	1	1	2	6	24	120	720	5040

Rekursion: $n!=n\cdot(n-1)!$. Mit dieser Formel kannst du kürzen:

$$\frac{7!}{4!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=5\cdot6\cdot7=210.$$

Allgemein für $k\le n$:

$$\frac{n!}{k!}=\prod_{i=k+1}^{n}i=(k+1)(k+2)\cdots n, \qquad \frac{n!}{(n-k)!}=\prod_{i=n-k+1}^{n}i \ (\text{die }k\text{ größten Faktoren}).$$

Die Fakultät bindet stärker als Punktrechnung: $2n!=2\cdot(n!)$, aber $(2n)!=1\cdot2\cdots(2n)$. Beispiel $n=3$: $2\cdot3!=12$, aber $6!=720$.

Beim Umformen oft nützlich: $(k+1)!=(k+1)\cdot k!$ und $(n-k)!=(n-k)\cdot(n-k-1)!$.

8. Binomialkoeffizient

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\qquad(0\le k\le n), \quad\text{gelesen: „}n\text{ über }k\text{“}.$$

$\binom nk$ zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, $k$ Elemente aus $n$ auszuwählen, ohne Reihenfolge.

Schnell rechnen: Oben stehen $k$ Faktoren, die bei $n$ beginnen und abwärts laufen. Unten steht $k!$:

$$\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35,\qquad \binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45.$$

Sonderfälle

$$\binom n0=\binom nn=1,\qquad\binom n1=n,\qquad\binom n2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Rechenregeln

Regel	Formel
Symmetrie	$\binom{n}{n-k}=\binom nk$
Additionssatz (Pascal)	$\binom nk+\binom n{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$
Binomischer Lehrsatz	$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk a^kb^{n-k}$
Zeilensumme	$\sum_{k=0}^{n}\binom nk=2^n$

Pascalsches Dreieck: Jede Zahl ist die Summe der beiden Zahlen darüber. Das ist genau der Additionssatz.

$$\begin{array}{c} 1\\ 1\quad1\\ 1\quad2\quad1\\ 1\quad3\quad3\quad1\\ 1\quad4\quad6\quad4\quad1\\ 1\quad5\quad10\quad10\quad5\quad1 \end{array}$$

Zeile $n$ enthält $\binom n0,\dots,\binom nn$. Ihre Summe ist $2^n$, zum Beispiel $1+4+6+4+1=16$.

Beispiel: Symmetrie nutzen

$$\binom{n}{n-3}=\binom n3,\quad\text{zum Beispiel}\quad\binom{8}{5}=\binom83=\frac{8\cdot7\cdot6}{6}=56.$$

Beispiel: Binomialkoeffizient geteilt durch Fakultät

$$\frac{\binom n2}{n!}=\frac{n!}{2!\,(n-2)!\,n!}=\frac{1}{2\,(n-2)!}.$$

9. Beweise mit Fakultäten führen

Identitäten wie Symmetrie, Additionssatz oder $\binom nm\binom mr=\binom nr\binom{n-r}{m-r}$ beweist du nach demselben Muster:

1. Jeden Binomialkoeffizienten mit der Definition $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ausschreiben.
2. Die Argumente in den unteren Fakultäten vereinfachen, zum Beispiel $n-(n-k)=k$.
3. Bei Produkten: gleiche Fakultäten in Zähler und Nenner kürzen.
4. Bei Summen: Hauptnenner bilden. Dazu Fakultäten mit $(k+1)!=(k+1)\cdot k!$ »auffüllen«.
5. Linke und rechte Seite getrennt umformen, bis beide gleich aussehen.

Musterbeweis: Symmetrie

$$\binom{n}{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\,\bigl(n-(n-k)\bigr)!}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}=\binom nk.\ \square$$

Musterbeweis: $\sum_{k=0}^{n}\binom nk=2^n$

Setze im binomischen Lehrsatz $a=b=1$:

$$2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk1^k1^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom nk.\ \square$$

Idee für den Additionssatz

$$\frac{n!}{k!\,(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\,(n-k-1)!}.$$

Der Hauptnenner ist $(k+1)!\,(n-k)!$. Den ersten Bruch erweiterst du mit $(k+1)$, den zweiten mit $(n-k)$. Im Zähler steht dann $n!\,\bigl((k+1)+(n-k)\bigr)=n!\,(n+1)=(n+1)!$.

10. Doppel- und Mehrfachsummen

$$\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}a_{ij}=\underbrace{(a_{11}+a_{12}+a_{13})}_{i=1}+\underbrace{(a_{21}+a_{22}+a_{23})}_{i=2}.$$

Von innen nach außen: Halte den äußeren Index fest, berechne die innere Summe und summiere dann außen.

Drei Abkürzungen

1. Feste Grenzen und Produkt aus zwei Teilen: Die Summe zerfällt.

$$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}i\,j=\Bigl(\sum_{i=1}^{3}i\Bigr)\Bigl(\sum_{j=1}^{2}j\Bigr)=6\cdot3=18.$$

2. Der Summand hängt nicht vom inneren Index ab: Die innere Summe liefert nur den Faktor »Anzahl«.

$$\sum_{k=1}^{3}\sum_{j=1}^{k}k^2=\sum_{k=1}^{3}k\cdot k^2=1+8+27=36.$$

3. Symmetrische Grenzen: Positive und negative Werte heben sich auf, also $\sum_{i=-k}^{k}i=0$. Die Anzahl der Summanden ist $2k+1$.

$$\sum_{i=-2}^{2}(3i+1)=3\cdot0+5\cdot1=5.$$

Beispiel mit abhängiger Grenze

Die innere Grenze hängt vom äußeren Index ab. Also rechnest du Schritt für Schritt:

$$\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{i}k =\underbrace{1}_{i=1}+\underbrace{(1+2)}_{i=2}+\underbrace{(1+2+3)}_{i=3}=10.$$

Bei drei Summen gehst du genauso vor. Stelle zuerst fest, welcher Index im Summanden vorkommt. Summen über Indizes, die im Summanden fehlen, werden zu Faktoren.

Bei $\sum_{k}\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=k}^{4}(\dots)$ hat die innerste Summe $4-k+1$ Summanden und die mittlere $k$ Summanden.

Ein Produkt mit einer Variablen als Grenze behandelst du genauso:

$$\prod_{j=1}^{n}2a^j=2^n\cdot a^{1+2+\dots+n}=2^n a^{\frac{n(n+1)}2}.$$

11. Teleskopsummen und unendliche Reihen

Beim Ausschreiben heben sich viele Terme auf:

$$\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1},\qquad \prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k}=\frac21\cdot\frac32\cdots\frac{n+1}{n}=n+1.$$

Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert ihrer Teilsummen. Für $|q|<1$ gilt:

$$\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac1{1-q},\qquad\text{zum Beispiel }1+\tfrac12+\tfrac14+\dots=2.$$

Die Bedingung $|q|<1$ gehört zur Formel.

12. Checkliste vor der Abgabe

• Anzahl der Summanden: obere Grenze − untere Grenze + 1.
• Beginnt der Index bei $0$? Dann ist $x^0=1$ und $2\cdot0=0$. Ein Faktor $0$ macht ein Produkt zu $0$.
• Konstanten: In einer Summe mit $N$ Summanden ergibt $c$ insgesamt $Nc$. In einem Produkt mit $N$ Faktoren ergibt $c$ insgesamt $c^N$.
• Potenzen im Produkt: Exponenten addieren, zum Beispiel mit der Gauß-Formel.
• Vorzeichen bei $(-1)^k$ für jeden Index prüfen, am besten mit einer Tabelle.
• $2n!\ne(2n)!$.
• Nach einer Indexverschiebung den ersten Summanden auf beiden Seiten vergleichen.