Differenzialrechnung

1. Was bedeutet die Ableitung?

Die Sekantensteigung misst eine mittlere Änderung. Ihr Grenzwert liefert die lokale Änderung:

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h.$$

Für $f(x)=x^2$:

$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h\longrightarrow2x.$$

Die Tangente bei $x_0$ lautet

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

Bei $x_0=3$ erhältst du $y=9+6(x-3)=6x-9$.

2. Grundregeln

Funktion	Ableitung
$c$	$0$
$x^r$	$rx^{r-1}$ auf dem jeweiligen Definitionsbereich
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$1/x$ für $x>0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

Trigonometrische Ableitungen verwenden Winkel im Bogenmaß.

Summen und konstante Faktoren bleiben getrennt:

$$(af+bg)'=af'+bg'.$$

Beispiel

$$f(x)=3x^4-2x+7\quad\Rightarrow\quad f'(x)=12x^3-2.$$

3. Produktregel

$$(uv)'=u'v+uv'.$$

Bei $f(x)=x^2e^x$:

$$f'(x)=2xe^x+x^2e^x=(2x+x^2)e^x.$$

Nicht einfach beide Faktoren ableiten und multiplizieren.

4. Quotientenregel

$$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\qquad(v\ne0).$$

Beispiel

$$\left(\frac{x+1}{x-1}\right)' =\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} =-\frac2{(x-1)^2}.$$

Achte auf das Minus im Zähler und den quadrierten Nenner.

5. Kettenregel

Äußere Ableitung, innere Funktion beibehalten, mal innere Ableitung:

$$(g(u(x)))'=g'(u(x))u'(x).$$ $$\bigl((3x+1)^4\bigr)'=4(3x+1)^3\cdot3.$$ $$\bigl(\ln(2x+1)\bigr)'=\frac2{2x+1},\qquad (e^{-2x})'=-2e^{-2x}.$$

Bei verschachtelten Funktionen arbeitest du von außen nach innen.

6. Höhere Ableitungen und Leibnizregel

$f^{(n)}$ bezeichnet die $n$-te Ableitung; $f^{(0)}=f$.

$$(uv)^{(n)} =\sum_{k=0}^{n}\binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}, \qquad \binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Für $n=2$:

$$(uv)''=u''v+2u'v'+uv''.$$

Beispiel

Für $f(x)=x^2e^x$ verschwinden die Ableitungen von $x^2$ ab Ordnung 3. Für $n\ge1$ folgt:

$$f^{(n)}(x)=\bigl(x^2+2nx+n(n-1)\bigr)e^x.$$

7. Wirtschaftliche Bedeutung

$K'(x)$ sind die Grenzkosten. Für kleine Änderungen gilt näherungsweise

$$\Delta K\approx K'(x)\Delta x.$$

Bei $K(x)=0{,}5x^2+10x+100$ ist $K'(20)=30$. Das bedeutet ungefähr 30 Euro zusätzliche Kosten pro zusätzlichem Stück bei einer Menge von 20. Die exakte Änderung auf 21 Stück beträgt hier 30,5 Euro.