Mengenlehre

1. Erst die Grundmenge festlegen

Die Grundmenge $\Omega$ legt fest, welche Objekte überhaupt betrachtet werden. Eine Bedingung allein beschreibt noch nicht eindeutig die gesuchte Menge.

Nimm die Bedingung $-5<x\leq 5$. Je nach Grundmenge ergibt sich eine andere Menge:

Grundmenge	Elemente, die die Bedingung erfüllen
Positive natürliche Zahlen $\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$	$\{1,2,3,4,5\}$
Natürliche Zahlen mit Null $\mathbb N_0$	$\{0,1,2,3,4,5\}$
Negative ganze Zahlen $\mathbb Z_{<0}$	$\{-4,-3,-2,-1\}$
Ganze Zahlen $\mathbb Z$	$\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$
Reelle Zahlen $\mathbb R$	Das gesamte Intervall $(-5,5]$

Wichtig für das Übungsblatt: Ob $0\in\mathbb N$ gilt, hängt von der im Kurs vereinbarten Konvention ab. Schreibe sie bei Aufgaben 1, 3 und 15 ausdrücklich dazu. Hier bezeichnet $\mathbb N$ die positiven natürlichen Zahlen; $\mathbb N_0$ enthält zusätzlich die Null.

Beispiel: „Zahlen kleiner als 10“

In $\mathbb N$ erhältst du die endliche Menge $\{1,2,\dots,9\}$. In $\mathbb Z$ gehören auch alle negativen ganzen Zahlen dazu:

$$\{x\in\mathbb Z\mid x<10\}=\{\dots,-2,-1,0,1,\dots,9\}.$$

In $\mathbb Q$ sind zusätzlich Brüche wie $\frac12$, $-\frac73$ und $9{,}99$ enthalten. Diese Menge lässt sich nicht als endliche Liste angeben:

$$\{x\in\mathbb Q\mid x<10\}.$$

Bezug zum Blatt: Aufgaben 1b und 3 prüfen genau diesen Wechsel der Grundmenge.

2. Mengen beschreiben und Elemente zählen

Eine Menge enthält Objekte, ihre Elemente. Reihenfolge und Wiederholungen sind unwichtig:

$$\{1,2,3\}=\{3,1,2,2\}.$$

• Aufzählend: $A=\{2,4,6,8,\dots\}$.
• Beschreibend: $A=\{2n\mid n\in\mathbb N\}$.
• Elementbeziehung: $2\in A$ bedeutet „2 ist ein Element von A“.
• Mächtigkeit: $|A|$ ist die Anzahl verschiedener Elemente einer endlichen Menge.

Die Menge der Buchstaben eines Wortes enthält jeden Buchstaben nur einmal. Achte darauf, ob Groß- und Kleinbuchstaben als verschieden gelten.

Zahlen zuerst vereinfachen

Bevor du Mengen vergleichst, vereinfache Brüche, Wurzeln und Potenzen:

$$\frac8{14}=\frac47,\qquad \frac{14}{8}=1{,}75,\qquad (-2)^2=4,\qquad -2^2=-4.$$

Klammern verändern das Ergebnis. $(-2)^2$ quadriert die negative Zahl. Bei $-2^2$ wird zuerst potenziert und danach das Minus angewendet.

Eine Menge ohne Elemente ist die leere Menge $\varnothing=\{\}$. Dagegen enthält $\{\varnothing\}$ ein Element, nämlich die leere Menge.

3. Teilmenge ist nicht Element

$A\subseteq B$ bedeutet: Jedes Element von A ist auch ein Element von B. Eine echte Teilmenge $A\subsetneq B$ ist zusätzlich ungleich $B$.

$$A=B\quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B\ \text{und}\ B\subseteq A.$$

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Sie ist aber nur dann Element einer Menge, wenn sie dort ausdrücklich vorkommt.

Verschachtelte Mengen richtig lesen

Für

$$E=\{\varnothing,0,\{0\}\}$$

gibt es genau drei Elemente:

1. die leere Menge $\varnothing$,
2. die Zahl $0$,
3. die Menge $\{0\}$.

Daher gelten $0\in E$ und $\{0\}\in E$. Auch $\{0\}\subseteq E$ ist wahr, denn das einzige Element von $\{0\}$, die Zahl $0$, liegt in $E$.

Eine Menge innerhalb einer Menge wird beim Zählen nicht „ausgepackt“. In $\{1,\{2,3\}\}$ liegen zwei Elemente, nicht drei.

Bezug zum Blatt: Aufgaben 16–19 drehen sich um diese Unterscheidung.

4. Schnitt, Vereinigung und Differenz

Zeichen	Bedeutung	Prüf-Frage für ein Element $x$
$A\cap B$	Schnitt	Liegt $x$ in beiden Mengen?
$A\cup B$	Vereinigung	Liegt $x$ in mindestens einer Menge?
$A\setminus B$	Differenz	Liegt $x$ in $A$, aber nicht in $B$?

Für $A=\{1,3,5\}$ und $B=\{3,4,5\}$ gilt:

$$A\cap B=\{3,5\},\qquad A\cup B=\{1,3,4,5\},\qquad A\setminus B=\{1\}.$$

Die Differenz ist nicht vertauschbar: $B\setminus A=\{4\}$.

Geschachtelte Ausdrücke von innen nach außen

Bei $A\cap((B\cup D)\setminus(C\cap B))$:

1. Berechne $B\cup D$.
2. Berechne $C\cap B$.
3. Entferne das Ergebnis aus Schritt 2 aus dem Ergebnis von Schritt 1.
4. Schneide die verbleibende Menge mit $A$.

So behältst du bei den Aufgaben 13–15 die Übersicht.

5. Komplementmenge: alles außerhalb von A, aber innerhalb von Ω

Das Komplement von A bezüglich der Grundmenge Ω besteht aus allen betrachteten Elementen, die nicht in $A$ liegen:

$$A^c=\Omega\setminus A =\{x\in\Omega\mid x\notin A\}.$$

Andere Schreibweisen sind $\overline A$ oder $A^\complement$. Im Übungsblatt wird auch ein hochgestelltes $C$ verwendet.

Dieselbe Menge, anderes Komplement

Sei $A=\{2,4\}$.

• Bei $\Omega_1=\{1,2,3,4\}$ gilt $A^c=\{1,3\}$.
• Bei $\Omega_2=\{1,2,3,4,5,6\}$ gilt $A^c=\{1,3,5,6\}$.

Ohne Grundmenge ist ein Komplement nicht eindeutig bestimmt. Eine Differenz $B\setminus A$ nennt dagegen direkt die Menge $B$, aus der entfernt wird.

Die Grundmenge aus dem Komplement rekonstruieren

Wenn $S\subseteq\Omega$ und das Komplement $S^c$ bekannt ist, gilt

$$\Omega=S\cup S^c,\qquad S\cap S^c=\varnothing.$$

Für Aufgabe 8b gehst du deshalb so vor:

1. Bestimme zuerst $S=A\cup B\cup C$.
2. Ergänze genau die Elemente des vorgegebenen Komplements.
3. Weitere Elemente dürfen nicht in $\Omega$ liegen, sonst würden auch sie zum Komplement gehören.

Regeln für Komplemente

$$(A^c)^c=A,\qquad A\cup A^c=\Omega,\qquad A\cap A^c=\varnothing.$$ $$\varnothing^c=\Omega,\qquad \Omega^c=\varnothing.$$

De Morgan:

$$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c,\qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c.$$

„Nicht in mindestens einer Menge“ bedeutet „in keiner der beiden“. „Nicht in beiden gleichzeitig“ bedeutet dagegen „mindestens eine Zugehörigkeit fehlt“.

6. Venn-Diagramme lesen und zeichnen

Das Rechteck stellt $\Omega$ dar; Kreise stellen die Mengen dar. Auch der Bereich außerhalb aller Kreise gehört zur Grundmenge.

Für zwei Mengen gibt es vier Bereiche:

$$A\cap B,\quad A\setminus B,\quad B\setminus A,\quad \Omega\setminus(A\cup B).$$

Für drei Mengen gibt es acht mögliche Zugehörigkeitskombinationen:

Zugehörigkeit	Bereich
nur $A$	$A\setminus(B\cup C)$
nur $B$	$B\setminus(A\cup C)$
nur $C$	$C\setminus(A\cup B)$
$A$ und $B$, nicht $C$	$(A\cap B)\setminus C$
$A$ und $C$, nicht $B$	$(A\cap C)\setminus B$
$B$ und $C$, nicht $A$	$(B\cap C)\setminus A$
alle drei	$A\cap B\cap C$
keine der drei	$\Omega\setminus(A\cup B\cup C)$

Genau zwei Mengen heißt: Vereinige die drei Bereiche mit genau zwei Zugehörigkeiten. Der Dreifachschnitt gehört nicht dazu.

Vorgehen bei einer blau markierten Fläche

Prüfe für jeden Bereich: innen oder außen bezüglich $A$, $B$ und gegebenenfalls $C$? Beschreibe zuerst die einzelnen markierten Bereiche und vereinige sie anschließend. Du darfst mehrere gleichwertige Ausdrücke angeben.

Bezug zum Blatt: Aufgaben 10, 12, 20 und 21 verlangen Diagramme oder das Lesen markierter Flächen. Die Originalabbildungen bleiben bei den Aufgaben erhalten.

7. Potenzmengen systematisch bilden

Die Potenzmenge $\mathcal P(A)$ ist die Menge aller Teilmengen von $A$, einschließlich $\varnothing$ und $A$ selbst.

$$\mathcal P(\{a,b\})= \{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.$$

Eine Menge mit $n$ Elementen hat $2^n$ Teilmengen:

$$|\mathcal P(A)|=2^{|A|}.$$

Bei fünf Elementen listest du nach Größe: eine leere, fünf einelementige, zehn zweielementige, zehn dreielementige, fünf vierelementige und eine fünfelementige Teilmenge. Insgesamt sind das $32$.

Für $\mathcal P(\{\,\{1,2\},3\,\})$ sind die Ausgangselemente die Menge $\{1,2\}$ und die Zahl $3$. Es gibt vier Teilmengen, nicht acht.

8. Teilbarkeit, Quadratzahlen und kurze Beweise

$x\mid20$ bedeutet: $x$ teilt $20$ ohne Rest. Es bedeutet nicht $x/20$.

$$\{x\in\mathbb N\mid x\mid20\}=\{1,2,4,5,10,20\}.$$

In $\mathbb Z$ gehören auch negative Teiler dazu. Achte außerdem auf zusätzliche Bedingungen wie $2\mid x$.

Der Schnitt zweier Mengen von Vielfachen besteht aus den Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen:

$$\{3k\}\cap\{7k\}=\{21k\},$$

wobei der zugelassene Wertebereich von $k$ zur Grundmenge passen muss.

Beweis statt einzelner Beispiele

Drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen kannst du als $n,n+1,n+2$ schreiben:

$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1).$$

Die Summe ist ein Vielfaches von 3. Das beweist die Aussage für alle erlaubten $n$, statt sie nur an einzelnen Zahlen zu testen.

Vor dem Üben

• Welche Grundmenge gilt? Ist die Null in $\mathbb N$ enthalten?
• Geht es um ein Element, eine Teilmenge oder eine Potenzmenge?
• Habe ich Zahlen und Brüche vor dem Mengenvergleich vereinfacht?
• Auf welche Grundmenge bezieht sich das Komplement?
• Habe ich bei Venn-Diagrammen den Bereich außerhalb aller Kreise berücksichtigt?