Matrizen und Determinanten

1. Notation zuerst: Was bedeuten die Symbole?

In $A=(a_{ij})$ bezeichnet $a_{ij}$ den Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$. Das doppelte $i$ in $a_{ii}$ bedeutet daher: Wir nehmen die Hauptdiagonale.

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe dieser Diagonale:

$\operatorname{sp}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}.$

Das große Sigma $\sum$ bedeutet „addiere“; unten steht der Startindex, oben der Endindex. Beispiel:

$A=\begin{pmatrix}2&7&0\\-1&3&4\\5&6&9\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sp}(A)=2+3+9=14.$

Die Determinante $\det(A)$ ist eine Zahl zu einer quadratischen Matrix. Ihr Betrag beschreibt den Flächen- oder Volumenfaktor der Abbildung $x\mapsto Ax$. Wenn $\det(A)=0$, wird der Raum zusammengedrückt: $A$ ist nicht invertierbar. Wenn $\det(A)\ne0$, existiert $A^{-1}$ und $Ax=b$ hat genau eine Lösung.

Für eine $2\times2$-Matrix gilt:

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.$

Inverse einer $2\times2$-Matrix

Die Inverse von $A$ wird mit $A^{-1}$ bezeichnet. Sie „macht die Wirkung von $A$ rückgängig“. Deshalb müssen beide Produkte die Einheitsmatrix ergeben:

$AA^{-1}=I\qquad\text{und}\qquad A^{-1}A=I,$

wobei

$I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$

Für

$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$

gilt: $A$ ist genau dann invertierbar, wenn

$\det(A)=ad-bc\ne0.$

Dann lautet die Formel:

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$

Merke dir die Reihenfolge: Diagonalwerte vertauschen, die beiden anderen Vorzeichen wechseln, dann durch die Determinante teilen.

Beispiel mit $A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$:

$\det(A)=3\cdot2-1\cdot5=1,$

$A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}.$

Die Probe ist wichtig:

$AA^{-1}=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I.$

2. Dimensionen zuerst

Eine $m\times n$-Matrix besitzt $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Der Eintrag $a_{ij}$ steht in Zeile $i$, Spalte $j$.

$$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A\text{ ist }2\times3,\quad a_{23}=6.$$

Addition: Beide Matrizen müssen gleich groß sein. Multiplikation: Die inneren Dimensionen müssen übereinstimmen:

$$(m\times n)\cdot(n\times p)\longrightarrow(m\times p).$$

Bei einer Summe wie $AC+D$ prüfst du zuerst die Größe von $AC$ und vergleichst sie anschließend mit der Größe von $D$.

Gleiche Matrizen haben dieselbe Größe und dieselben Einträge. Eine Matrixgleichung mit unbekannten Einträgen liefert deshalb ein Gleichungssystem.

2. Addition, Skalarmultiplikation und Spur

Addiere oder subtrahiere entsprechende Einträge. Ein Skalar multipliziert jeden Eintrag:

$$2\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&4\\5&6\end{pmatrix}.$$

Die Spur einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Hauptdiagonale:

$$\operatorname{sp}(A)=\sum_i a_{ii},\qquad \operatorname{sp}(cA)=c\operatorname{sp}(A).$$

3. Multiplizieren: Zeile mal Spalte

Für $C=AB$ gilt

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$$

Vollständig vorgerechnetes Beispiel

$$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot1&1\cdot0+2\cdot2\\ 3\cdot2+4\cdot1&3\cdot0+4\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&4\\10&8\end{pmatrix}.$$

$AB$ ist im Allgemeinen nicht $BA$. Ein Produkt wird nicht eintragsweise gebildet.

Es gelten $A(BC)=(AB)C$ und $A(B+C)=AB+AC$, sofern die jeweiligen Dimensionen passen.

4. Transponieren

Bei $A^T$ werden Zeilen und Spalten vertauscht:

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}.$$ $$(A+B)^T=A^T+B^T,\qquad (AB)^T=B^TA^T,\qquad (A^T)^T=A.$$

Typischer Fehler: Beim Transponieren eines Produkts muss sich die Reihenfolge umkehren.

5. Determinanten berechnen

Für eine $2\times2$-Matrix:

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.$$

Für eine $3\times3$-Matrix kannst du nach der ersten Zeile entwickeln:

$$\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix} =a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).$$

Für größere Matrizen verwendest du Laplace-Entwicklung oder Zeilenumformungen. Bei der Entwicklung nach Zeile $i$ gilt:

$$\det(A)=\sum_j a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).$$

$M_{ij}$ entsteht durch Streichen der Zeile $i$ und der Spalte $j$. Wähle möglichst eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen.

Operation	Wirkung auf die Determinante
Zwei Zeilen tauschen	Vorzeichenwechsel
Eine Zeile mit $c$ multiplizieren	Determinante wird mit $c$ multipliziert
Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren	Determinante bleibt gleich
Transponieren	$\det(A^T)=\det(A)$

Bei Dreiecksmatrizen multiplizierst du die Diagonale. Die Sarrus-Regel gilt ausschließlich für $3\times3$, nicht für $4\times4$.

6. Inverse und Adjunkte

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn $\det(A)\ne0$.

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} =\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$

Beispiel und Probe

$$A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}, \quad \det(A)=1, \quad A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}.$$ $$AA^{-1}=\begin{pmatrix}6-5&-3+3\\10-10&-5+6\end{pmatrix}=I.$$

Für größere Matrizen: Berechne die Kofaktoren $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})$, transponiere die Kofaktormatrix und teile durch die Determinante:

$$\operatorname{adj}(A)=C^T,\qquad A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}.$$

Die Adjunkte ist die transponierte Kofaktormatrix.

7. Matrixgleichungen und Potenzen

$$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B,\qquad XA=B\Rightarrow X=BA^{-1}.$$ $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\qquad (cA)^{-1}=\frac1c A^{-1}\quad(c\ne0).$$

$A^3=A\cdot A\cdot A$ und $A^{-3}=(A^{-1})^3$. Im Matrixpolynom ersetzt du konstante Zahlen durch Vielfache der Einheitsmatrix:

$$p(x)=x^2-2x+1 \quad\Rightarrow\quad p(A)=A^2-2A+I.$$

Für eine orthogonale Matrix gilt $A^{-1}=A^T$. Das hilft bei der trigonometrischen Matrix in Aufgabe 12 von Blatt 2, weil $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$.

8. Lineare Gleichungssysteme und Cramer

Schreibe das System als $Ax=b$. Falls $\det(A)\ne0$, ist die Lösung eindeutig:

$$x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)},$$

wobei $A_i$ aus $A$ durch Ersetzen der $i$-ten Spalte durch $b$ entsteht.

Bei Parametern bestimmst du zuerst, für welche Parameterwerte die Determinante ungleich null ist. Nur dort darfst du mit der Cramerschen Regel dividieren.

• $\det(A)\ne0$: genau eine Lösung.
• $\det(A)=0$, inhomogenes System: keine oder unendlich viele Lösungen; weiter prüfen.
• $\det(A)=0$, homogenes quadratisches System: unendlich viele Lösungen über $\mathbb R$.

Arbeitsweise für die Originalblätter: Dimensionen prüfen → Rechenregel notieren → rechnen → durch Einsetzen oder Multiplikation mit $I$ prüfen.