Extremwertprobleme

1. Zielgröße und Nebenbedingung trennen

Eine Extremwertaufgabe beginnt mit einem Modell:

1. Welche Größe soll maximal oder minimal werden?
2. Welche Variablen und Einheiten verwendest du?
3. Welche Nebenbedingung verbindet sie?
4. Welche Werte sind zulässig?

Beispiel: größtes Rechteck mit 40 m Umfang

$$A=xy,\qquad2x+2y=40\quad\Rightarrow\quad y=20-x.$$

Damit:

$$A(x)=x(20-x),\qquad0<x<20.$$

Der zulässige Bereich gehört zur Aufgabe. Ein rechnerischer Kandidat außerhalb dieses Bereichs ist keine Lösung.

2. Stationäre Stellen finden

Für eine innere Extremstelle einer differenzierbaren Funktion ist $f'(x)=0$ notwendig.

$$A'(x)=20-2x=0\quad\Rightarrow\quad x=10.$$

Setze anschließend in die Nebenbedingung ein: $y=10$. Die Fläche beträgt $100\,\mathrm{m}^2$.

3. Maximum oder Minimum?

• $f''(x_0)<0$: strenges lokales Maximum.
• $f''(x_0)>0$: strenges lokales Minimum.
• $f''(x_0)=0$: noch keine Entscheidung; etwa den Vorzeichenwechsel von $f'$ prüfen.

Im Rechteckbeispiel ist $A''=-2<0$.

Gegenbeispiel

$f(x)=x^3$ hat $f'(0)=0$, aber keinen Extrempunkt. Die Ableitung $3x^2$ wechselt dort nicht ihr Vorzeichen.

4. Globale Extrema und Randwerte

Auf einem abgeschlossenen Intervall vergleichst du:

1. innere stationäre Stellen,
2. nicht differenzierbare Stellen,
3. beide Randpunkte.

Beispiel

Für $f(x)=x^2$ auf $[-1,2]$:

$$f(-1)=1,\qquad f(0)=0,\qquad f(2)=4.$$

Das Minimum ist 0 bei $x=0$, das Maximum 4 bei $x=2$.

Auf offenen Intervallen kann ein Extremwert fehlen: $f(x)=x$ auf $(0,1)$ hat kein Maximum.

5. Gewinn maximieren

Mit Preis-Absatz-Funktion $p(x)$ und Kosten $K(x)$:

$$E(x)=xp(x),\qquad G(x)=E(x)-K(x).$$

Vollständiges Beispiel

$$p(x)=100-2x,\qquad K(x)=20x+100.$$ $$G(x)=-2x^2+80x-100,\qquad0\le x\le50.$$ $$G'(x)=-4x+80=0\Rightarrow x=20,\qquad G''=-4<0.$$

Die Randwerte sind $G(0)=-100$ und $G(50)=-1100$. Dagegen ist $G(20)=700$. Das globale Gewinnmaximum liegt bei 20 Stück; der Preis ist $p(20)=60$.

Erlösmaximum und Gewinnmaximum sind unterschiedliche Ziele.

6. Drei Seiten eines Zauns

Wenn eine Wand die vierte Seite ersetzt, lautet die Nebenbedingung bei 60 m Zaun

$$2x+y=60,$$

nicht $2x+2y=60$.

$$A(x)=x(60-2x),\quad0\le x\le30,\qquad A'(x)=60-4x.$$

Daraus folgen $x=15$, $y=30$ und die maximale Fläche $450\,\mathrm{m}^2$. Beide Randflächen sind 0.

7. Ganzzahlige Lösungen und Antwortsatz

Wenn nur ganze Stückzahlen zulässig sind, prüfe bei einer konkaven Zielfunktion die beiden zulässigen ganzen Nachbarn des reellen Maximums.

Für $G(x)=-(x-3{,}4)^2+10$:

$$G(3)=9{,}84,\qquad G(4)=9{,}64.$$

Die optimale ganzzahlige Menge ist 3.

Formuliere abschließend einen Satz mit optimaler Menge, Zielwert und Einheit und prüfe alle Nebenbedingungen.